Question

10．如图所示，在xOy直角坐标平面内，第三象限内存在沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），y轴右侧存在一垂直纸面的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的粒子（不计重力）由A点（-a，0）以一定初速度v₀竖直向下抛出，粒子到达y轴上的C点时，其速度方向与y轴负方向夹角为45°，粒子经磁场偏转后从y的正半轴上某点穿出又恰好击中A点，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向；
（3）粒子从A出发到回到A经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由类平抛运动的规律可求得电场强度；
（2）由几何关系可明确粒子转动的半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度的大小；
（3）明确粒子运动的总过程，分别由类平抛运动、圆周运动及直线运动规律求得各过程中的时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向为匀速直线运动，水平方向为匀加速直线运动；
由已知条件可得：
竖直方向y=v₀t；
解得：t=$\frac{a}{{v}_{0}}$
水平方向x=$\frac{{v}_{x}}{2}$t
因离开电场时与y轴成45度角；故有tanα=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$=1；
故v_x=v₀
则有：y=2a；
则t=$\frac{2a}{{v}_{0}}$
在沿电场方向的水平方向上有：a=$\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}$t²
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$；
（2）根据粒子在单边界磁场中的对称性可知，粒子离开磁场时的速度与y轴夹角也为45度；则由几何关系可知，离开磁场点的坐标为（0，a），则对应的弦长为：$\frac{3a}{2}$；
由几何关系可知：$\sqrt{2}R$=3a
解得：R=$\frac{\sqrt{2}}{3}a$；
由洛仑兹力充当向心力可知，Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{3\sqrt{2}m{v}_{0}}{2qa}$；
由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里；
（3）粒子在复合场中经历了三个过程，类平抛、圆周运动及直线运动；
在磁场中运动时间t₂=$\frac{270}{360}$×$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{3πm}{2Bq}$；
离开磁场后的速度v=$\sqrt{2}$v₀；
经历的位移为：l=$\sqrt{2}$a；
故时间t₃=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{a}{{v}_{0}}$；
故粒子运动的总时间为：t_总=t+t₂+t₃=2$\frac{a}{{v}_{0}}$+$\frac{a}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{2Bq}$=$\frac{2a}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{2Bq}$=$\frac{3a}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{2Bq}$=$\frac{3a}{{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{2}πa}{2{v}_{0}}$=$\frac{6a+\sqrt{2}πa}{2{v}_{0}}$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qa}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{4m{v}_{0}}{3qa}$；方向向里；
（3）粒子从A出发到回到A经历的时间t为$\frac{3a}{{v}_{0}}$+$\frac{6a+\sqrt{2}πa}{2{v}_{0}}$；

点评 本题为带电粒子在组合场中的运动，要注意分别应用电场中的类平抛，磁场中的匀速圆周运动的规律进行分析求解．并注意认真分析其对应的物理过程．明确物理规律的正确应用．