Question

一名宇航员在登陆某星球后为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球托举到距星球表面高度为 h 处由静止释放，计时仪器测得小钢球从释放到落回星球表面的时间为t．此前通过天文观测测得此星球的半径为 R，已知万有引力常量为G，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度 g；
（2）此星球的质量 M；
（3）若距此星球表面高 H 的圆形轨道有一颗卫星绕它做匀速圆周运动，求卫星的运行周期 T．

Answer 1

分析：（1）根据h=

1

2

gt2得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量．
（3）根据万有引力提供向心力，结合万有引力等于重力求出卫星在圆形轨道上运行的周期．

解答：解：（1）由h=

1

2

gt2得，g=

2h

t2

．
（2）根据G

Mm

R2

=mg
解得M=

gR2

G

=

2hR2

Gt2

．
（3）根据万有引力提供向心力得，G

Mm

(R+H)2

=m(R+H)(

2π

T

)2
又GM=gR²
解得T=

4π2(R+H)3 gR2

．
因为g=

2h

t2

．
所以T=

2π2(R+H)3t2 hR2

．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=

2h

t2

．
（2）此星球的质量为

2hR2

Gt2

．
（3）卫星的运行周期为

2π2(R+H)3t2 hR2

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．