Question

（2007?广州二模）从水平地面上以初速度v₀把小球竖直向上抛出，若小球运动中所受空气阻力是其重力的0.6倍，每次接触地面后在极短的时间内以原速率反弹，重力加速度为g求：
（1）小球从开始抛出到静止所通过的路程．
（2）小球从开始抛出到刚刚静止所经历的时间．（提示：若0＜q＜1，当n无穷大时，取qⁿ=0）

Answer 1

分析：（1）对从抛出到静止的整个运动过程运用动能定理列式即可求解；
（2）根据牛顿第二定律及运动学基本公式求出前三次上升和下落的时间，找出通式，对通式进行求和即可求解．

解答：解：（1）小球最后静止在水平地面上，在整个运动过程中，空气阻力做功使其机械能减少，设小球从开始抛出到最后静止所通过的路程S，
有    fS=

1

2

m

v

2 0

已知 f=0.6mg    代入算得：S=

5 v 2 0

6g

（2）第一次上升和下降：设上升的加速度为a₁₁．上升所用的时间为t₁₁，上升的最大高度为h₁；下降的加速度为a₁₂，下降所用时间为t₁₂．
上升阶段：F_合=mg+f=1.6 mg
由牛顿第二定律：a11=

F合

m

=1.6g            
根据：v_t=v₀-a₁₁t₁₁，v_t=0
得：v₀=l.6gt₁₁，所以t₁₁=

5v0

8g

（1分）
下降阶段：a12=

mg-f

m

=0.4g
由h₁=

1

2

a₁₁t₁₁² 和 h₂=

1

2

a₁₂t₁₂²     
得：t₁₂=2t₁₁=

5v0

4g

          所以上升和下降所用的总时间为：T₁=t₁₁+t₁₂=3t₁₁=

15v0

8g

    
    第二次上升和下降，以后每次上升的加速度都为a₁₁，下降的加速度都为a₁₂；设上升的初速度为v₂，上升的最大高度为h₂，上升所用时间为t₂₁，下降所用时间为t₂₂
    由v₂²=2a₁₂h₁和v₀²=2a₁₁h₁          得  v₂=

1

2

v₀          
    上升阶段：v₂=a₁₁t₂₁  得：t₂₁=

v2

a11

=

5v0

16g

       
    下降阶段：由  h₂=

1

2

a₁₁t₂₁²   和h₂=

1

2

a₁₂t₂₂²       得t₂₂=2t₂₁       
 所以第二次上升和下降所用总时间为：T₂=t₂₁+t₂₂=3t₂₁=

15v0

16g

=

1

2

T₁   
    第三次上升和下降，设上升的初速度为v₃，上升的最大高度为h₃，上升所用时间为t₃₁，下降所用时间为t₃₂
    由 v₃²=2a₁₁h₂   和v₂²=2a₁₂h₂         得：v₃=

1

2

 v₂=

1

4

v₀
    上升阶段：v₃=a₁₁t_3l，得t₃₁=

5v0

32g

    
    下降阶段：由 h₃=

1

2

a₁₁t₃₁²       和h₃=

1

2

a₁₂t₃₂²            得：t₃₂=2t₃₁   
    所以第三次上升和下降所用的总时间为：T₃=t₃₁+t₃₂=3t₃₁=

15v0

32g

=

1

4

T₁     
    同理，第n次上升和下降所用的总时间为：T_n=(

1

2

)n-1T1       
    所以，从抛出到落地所用总时间为：T=

15v0

4g

答：（1）小球从开始抛出到静止所通过的路程为

5 v 2 0

6g

．
（2）小球从开始抛出到刚刚静止所经历的时间为

15v0

4g

．

点评：本题主要考查了动能定理及牛顿第二定律及运动学基本公式的应用，过程较为复杂，难道适中．