Question

5．如图所示，一根长4m的木杆，假定下端用铰链固定在地面上，杆的顶端有根水平电线向左拉，拉力F恒为500N，杆的右边用一根长度为4m的钢绳将杆垂直固定在地面上．（1）如果钢绳上端A离地面的高度为3.5m，此时钢绳收到的拉力是多少？
（2）为了使钢绳受到的拉力最小，其上端A离地面的高度应是多少？此时钢绳受到的拉力又是多少？

Answer 1

分析 （1）根据力矩平衡，结合力臂的大小，求出此时钢绳的拉力大小．
（2）根据力矩平衡得出拉力的表达式，结合数学知识求出拉力最小时，上端A离地面的高度，以及拉力的大小．

解答 解：设杆长为L，钢绳的拉力为T，钢绳的长度为a，其上端A离地的高度为x，下端B到铰链的距离为y，钢绳与杆的夹角为α
（1）由力矩平衡条件得：Txsinα=FL
又因为：$sinα=\frac{y}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{x^2}}}}{a}$
代入数据得$T=\frac{FLa}{{x\sqrt{{a^2}-{x^2}}}}=\frac{500×4×4}{{3.5×\sqrt{{4^2}-{{3.5}^2}}}}N=1180N$
（2）由力矩平衡条件，考虑到 $sinα=\frac{y}{a}$
所以：$T=\frac{FLa}{xy}$
要使T最小，只有x=y
故：x=y=$\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2.83（m）
T=$\frac{2FL}{a}$=$\frac{2×500×4}{4}N=1000N$．
答：（1）此时钢绳收到的拉力是1180N．
（2）为了使钢绳受到的拉力最小，其上端A离地面的高度应是2.83m，此时钢绳受到的拉力是1000N．

点评 本题是力矩平衡问题，关键要正确确定力臂的大小，运用函数法求绳子拉力的最小值．