Question

3．图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，方向平行于板面并垂直于纸面朝里．图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域．不计重力．已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲做圆周运动的半径及离子甲的质量．

Answer 1

分析 粒子做匀速直线运动，粒子处于受力平衡状态，所以电场力和磁场力大小相等，进入磁场后粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以解题．

解答 解：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，
由平衡条件得：qvB₀=qE₀ ①
平行金属板之间的匀强电场的强度：E₀=$\frac{V}{d}$  ②
由①②式解得：v=$\frac{V}{{B}_{0}d}$   ③
在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动．设离子甲质量为m，
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ④
离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O：这半圆刚好与EG边相切于K，与EF边交于P点．在△EOK中，OK垂直于EG，
由几何关系得：$\frac{1}{2}$a-r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$r  ⑤
由⑤式解得：r=（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a  ⑥
联立③④⑥式得，离子甲的质量为：m=$\frac{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）qaB{B}_{0}d}{V}$；
答：离子甲做圆周运动的半径为（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）a，及离子甲的质量为：$\frac{（\sqrt{3}-\frac{3}{2}）qaB{B}_{0}d}{V}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．