Question

4．天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫双星．已知双星的质量分别为m₁和m₂，相距为r，它们分别绕连线上的一点做匀速圆周运动，求它们的角速度的大小．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小，再求解角速度的大小．

解答 解：设m₁、m₂的轨道半径分别为r₁、r₂，角速度为ω，
根据牛顿第二定律得：
对m₁有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω²r₁                      
对m₂有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₂ω²（r-r₁）                               
由以上二式有：r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$r，
将r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$r代入：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω²r₁，
解得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$；
答：它们的角速度的大小为$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．