Question

19．如图所示为玻璃材料制成的一棱镜的截面图（OAB为$\frac{1}{4}$圆，OBCD为一矩形），一细光束从圆弧AB的中点E沿半径射入棱镜后，恰好在圆心O点发生全反射，再经CD面反射后，从圆弧的F点射出，已知OA=a，OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，真空中的光速c，求：
①出射光线与法线夹角的正弦值．
②光在棱镜中传播的时间．

Answer 1

分析 ①先作出光路图，根据几何关系得出临界角，由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由几何知识求得光线在F点的入射角，由折射定律求解出射光线与法线夹角的正弦值．
②光在棱镜中的传播速度v=$\frac{c}{n}$．由几何知识求出光线在棱镜中传播的距离s，由t=$\frac{s}{v}$求解传播的时间．

解答 解：①作出光路图如图．

根据几何关系可知，临界角为 C=∠EOB=45°
根据全反射临界角公式 sinC=$\frac{1}{n}$
得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
又 OG=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=$\frac{1}{2}$a，
根据几何关系可知△OGF是直角三角形，则sinα=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{1}{2}$
根据折射定律得，n=$\frac{sinβ}{sinα}$．
解得，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②光在棱镜中的传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{2}}$．
由几何知识得，光线传播的长度为 l=a+$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
光在棱镜中传播的时间 t=$\frac{l}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$
答：
①出射光线与法线夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②光在棱镜中传播的时间为$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．

点评 本题的突破口是“光线恰好在圆心O点发生全反射”，根据全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相结合进行处理．分析时，要灵活几何知识求解相关角度和光传播的距离，要加强这方面的训练，提高解题能力．