Question

（14分）北京时间2005年4月12日20时0分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”捆绑式运载火箭，成功地将“亚太六号”通信卫星(其质量用m表示)送入太空。这颗“亚太六号”通信卫星在围绕地球的椭圆轨道上运行如图所示，离地球表面最近的点A(近地点)高度L₁=209km(209×10³m)，离地球表面最远的点B(远地点)高度L₂=49991km(49991×10³m)。已知地球质量M=6.0×10²⁴kg，引力常量G=×10^-9N?m²/kg²，地球半径R=6400km=6.4×10⁶m。且在地球上空任一高度处h(h为到地球中心的距离)，卫星具有的引力势能表达式为，求：

   

（1）此卫星在围绕地球的椭圆轨道上从近地点A运动到远地点B的时间约为几天(设π²=10，保留两位数字)；

（2）证明：v_A?(L₁+R)= v_B(L₂+R)。其中v_A和v_B分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B的速度；L₁+R和L₂+R分别是“亚太六号”通信卫星在近地点A和远地点B到地球球心的距离(提示：根据椭圆的对称性可知近地点A和远地点B所在轨道处的极小的弧形应是半径相等的圆弧的弧)；

（3）试计算“亚太六号”通信卫星的发射速度v的大小是多少km/s(保留两位数字)。

Answer 1

解析：

（1）卫星围绕地球的运动过程中，万有引力提供向心力

       (1分)

整理得           (1分)

由开普勒定律及上面推证知任一椭圆中上式同样适用   (1分)

由图可得知半长轴          (1分)

                    =31500km                      (1分)

天（2分）

从近地点A运行到远地点B的时间  天           (1分)

（2）设近地点A和远地点B所在轨道处的极小圆弧的半径为ρ，依题意知万有引力提供向心力，即

      (2分)

      (2分)

联立解得    v_A?(L₁+R)= v_B(L₂+R)                      (2分)

(3) 据机械能守恒及上面的证明得

      (1分)

 (1分)

v_A?(L₁+R)=v_B(L₂+R)

由以上各式联立解得       (2分)

代入数据解得  v₀=10.6km/s (1分)