Question

13．北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”-开普勒-452b．将开普勒-452b简化成如图所示的模型：MN为该星球的自转轴，A、B是该星球表面的两点，它们与地心O的连线OA、OB与MN的夹角分别为α=30°，β=60°；在A、B两点处放置质量分别为m_A、m_B的物体．设该星球的自转周期为T，半径为R，引力常量为G．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧秤称量质量为m_A的物体平衡时示数为F，则下列有关物理学常识的说法中，正确的是（　　）

• A． 该星球的第一宇宙速度为$\frac{2πR}{T}$
• B． 星球的质量为$\frac{FR}{G{m}_{A}}$
• C． 若向开普勒-452b发射一颗同步卫星，则轨道半径为$\root{3}{\frac{{T}^{2}F{R}^{2}}{4{π}^{2}{m}_{A}}}$
• D． 放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为$\frac{\sqrt{3}{m}_{A}}{{m}_{B}}$

Answer 1

分析 不考虑该星球的自转，重力加速度$g=\frac{F}{{m}_{A}^{\;}}$，在星球表面，根据万有引力等于重力求出星球质量，根据几何关系求出AB两个物体随星球自转的半径，再根据向心力公式求解．

解答 解：A、该星球的第一宇宙速度即近地卫星的线速度，轨道半径等于星球的半径，但周期不等于星球的自转周期T，所以该星球的第一宇宙速度不等于$\frac{2πR}{T}$，故A错误；
B、星球表面的重力加速度$g=\frac{F}{{m}_{A}^{\;}}$，在星球表面：${m}_{A}^{\;}g=G\frac{M{m}_{A}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}$，得星球的质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{F{R}_{\;}^{2}}{G{m}_{A}^{\;}}$，故B错误；
C、同步卫星的周期等于星球的自转周期T，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{{T}_{\;}^{2}F{R}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{m}_{A}^{\;}}}$，故C正确；
D、A点随星球自转的半径${R}_{A}^{\;}=Rsinα=Rsin30°=\frac{1}{2}R$，B点随星球自转的半径${R}_{B}^{\;}=Rsinβ=Rsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\frac{{F}_{A}^{\;}}{{F}_{B}^{\;}}=\frac{{m}_{A}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{R}_{A}^{\;}}{{m}_{B}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{R}_{B}^{\;}}=\frac{{\sqrt{3}m}_{A}^{\;}}{{m}_{B}^{\;}}$，故D正确；
故选：CD

点评 本题主要考查了向心力公式以及万有引力提供向心力公式的直接应用，知道AB随星球自转时角速度相同，特别注意AB随星球自转时的半径不是R，难度适中．