Question

2．一透明立方体边长为L=4m，上表面有不透明薄膜，薄膜中心O有一点状光源，已知介质折射率为$\sqrt{5}$．求其它面上不经过反射就 能直接透光的区域的总面积．

Answer 1

分析 根据折射定律求出全反射的临界角，能直接透光的区域光线不发生全反射，结合几何关系求解面积．

解答 解：设光线发生全反射的临界角为θ，由折射定律得：
   $\frac{sinθ}{sin90°}$=$\frac{1}{n}$
如图所示，底面上能不发生全反射的区域是以D点为圆心，以CD为半径的圆形区域．
 sin∠COD=sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\overline{CD}$=L•tan∠COD=2m
所以底面上透光面积 S₁=$π{\overline{CD}}^{2}$=4π （m²）
侧面上不会直接全反射的为半圆区域，半径为AB，同样有 sin∠AOB=sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
则 $\overline{AB}$=$\frac{1}{2}$tan∠AOB=1m
所以侧面上透光面积为  S₂=4×$\frac{1}{2}π×{\overline{AB}}^{2}$=2π（ m²）
故不经过反射就 能直接透光的区域的总面积为 S=S₁+S₂=6π（ m²）
答：不经过反射就能直接透光的区域的总面积为6πm²．

点评 本题考查几何光学问题，对数学的能力要求较高，掌握临界角与折射率的关系．