Question

如图是一个由abc半圆、cdO₁半圆、O₁eO₂f四分之三圆组成的光滑@型轨道，O₁、O₂、O₃分别是三个圆周的圆心，a与c是轨道最右与最左点，b与d是轨道最低与最高点，最小圆半径为R．现将一个质量为m的小球从距离a一定高度处自由释放，小球正好从a点进入轨道．问：                                                                               

（1）要使小球恰好能够完整通过此轨道，小球距离a点的释放高度h=？计算出小球对轨道最大压力F_m=？                                                                                             

（2）假如将O₁eO₂f四分之三圆换成规格一样但粗糙的轨道，在（1）基础上，小球恰好还能完整通过此轨道，求此过程摩擦力做功W_μ=？                                                                                                              

                                                                         

                                                                                                                                       

Answer 1

（1）小球恰好能够完整通过此轨道，在最高点d重力提供向心力，

由牛顿第二定律得：mg=m，解得：v_d=，

小球恰好通过f点，由牛顿第二定律得：mg=m，

解得，小球通过f点的临界速度：，

d点高比f点高，所以只要通过d就可以完整通过轨道，

由机械能守恒定律得：mgh=mg•2R+，解得：h=3R，

超重阶段压力大，所以应该在下半圆的e点或b点，

在e点时，由机械能守恒定律得：mg（h+R）=，

由牛顿第二定律得：F_e﹣mg=，解得：F_e=9mg，

在d点时，由机械能守恒定律得：mg（h+4R）=﹣0，

由牛顿第二定律得：F_b﹣mg=，解得：F_b=4.5mg，

可见e点支持力最大为9mg，由牛三定律可知，

小球对轨道最大压力：F_m=F_e=9mg；

（2）根据临界速度与  ，

由动能定理得：mgR+W_μ=，

解得：W_μ=；

答：（1）小球距离a点的释放高度h=3R，小球对轨道最大压力F_m=9mg；

（2）此过程摩擦力做功W_μ=．