Question

6． 如图所示，S为离子源，从其小孔发射出电量为q的正离子（初速度为零），经电为U的 电场加速后，沿O₁O₂方向进入匀强磁场中，磁场被限制在以O为圆心，半径为r的圆形区域内，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里．正离子从磁场中射出后，打在屏上的P点，偏转距离O₂P与屏到O点的距离OO₂之比O₂P：OO₂=$\sqrt{3}$，
求：（1）正离子的质量
（2）正离子通过磁场所需的时间．

Answer 1

分析 在加速电场中根据动能定理求出进入磁场的速度，而在磁场中做匀速圆周运动，朝着圆心射去，则离开磁场时也是背向圆心方向射出的．画出在磁场中的轨迹，由几何关系确定偏转角的大小，这为求出通过磁场所需时间作铺垫．同时，也由几何关系能求出做圆周运动的半径R和圆形磁场半径r的关系，由洛仑兹力提供向心力确定离子的质量．

解答 解：（1）离子在电场中加速：
     $Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
  进入磁场后由牛顿第二定律有：
     $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$   ②
  从而得到半径：$R=\frac{mv}{qB}$，周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2π\frac{mv}{qB}}{v}=\frac{2πm}{qB}$
  由几何关系有：在△OO₁O′中，$tg\frac{θ}{2}=\frac{r}{R}$    ③
      $tgθ=\frac{{O}_{2}P}{O{O}_{2}}$        ④
  由题意知：O₂P：OO₂=$\sqrt{3}$     而在直角△OO₂P中$tgθ=\frac{{O}_{2}P}{O{O}_{2}}$，所以θ=60°
   联立以上几式可得：$m=\frac{3{B}^{2}{r}^{2}q}{2U}$
（2）由以上分析也可以看出：粒子在磁场中偏转了60°，在磁场中运动的时间：
      $t=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}\frac{2πm}{qB}=\frac{π\frac{3{B}^{2}{r}^{2}q}{2U}}{3qB}$=$\frac{πB{r}^{2}}{2U}$．
答：（1）正离子的质量为$\frac{{3B}^{2}{r}^{2}q}{2U}$．
（2）正离子通过磁场所需的时间为$\frac{πB{r}^{2}}{2U}$．

点评 本题的关键点在于离子被加速后向圆心方向射去，则射出时是背向圆心方向的．另外还有两个直角三角形，由直角△OO₁O′的关系找到R与r的关系，由直角△OO₂P的几何关系找到偏转角的度数．结合电磁学和力学相关内容，可以求出离子的质量和离子在磁场中的时间．