Question

15．如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动．如果小球经过最高位置时，杆对球的弹力大小为F=$\frac{1}{2}$mg，求：
（1）球在最高位置时的速度大小；
（2）当小球经过最低点时速度为$\sqrt{6gL}$，求球对杆的作用力的大小和小球的向心加速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据小球做圆运动的条件，合外力等于向心力，根据向心力公式求解；
（2）在最低点对小球进行受力分析，合力提供向心力，列出向心力公式即可求解杆与球之间的作用力；根据向心加速度的计算公式即可求出向心加速度．

解答 解：（1）若杆施加的是拉力，则mg+F=$m\frac{{v}^{2}}{L}$…①
有：v=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$
若杆施加的是支持力，则mg-F=$m\frac{{v}^{2}}{L}$…②
有：v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$
（2）F-mg=$m\frac{{v}^{2}}{L}$ ③
所以：F=mg+$m\frac{{v}^{2}}{L}$=mg+6mg=7mg
由牛顿第三定律，球队杆的作用力为7mg
向心加速度：a=$\frac{{v}^{2}}{L}=\frac{6gL}{L}=6g$
答：（1）球在最高位置时的速度大小可能是$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$或$\sqrt{\frac{gL}{2}}$；
（2）当小球经过最低点时速度为$\sqrt{6gL}$，球对杆的作用力的大小是7mg，小球的向心加速度大小是6g．

点评 竖直方向圆周运动在最高点和最低点由合力提供向心力，注意杆子可以提供向上的力，也可以提供向下的力．