Question

7．已知太阳球心到地球球心的距离为L，地球公转轨道可近似成圆轨道，公转周期为T，引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，又已知“嫦娥三号”卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t通过的弧长为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度．求：
（1）太阳质量M₁；
（2）地球质量M₂；
（3）月球质量M₃．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求太阳质量${M}_{1}^{\;}$
（2）在地球表面物体重力等于万有引力求地球质量${M}_{2}^{\;}$
（3）根据圆周运动的规律求出线速度和角速度，根据万有引力提供向心力求月球质量${M}_{3}^{\;}$

解答 解：（1）地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={M}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
解得：${M}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）地球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{2}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（3）卫星绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{3}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$v=\frac{s}{t}$
$ω=\frac{θ}{t}$
$r=\frac{s}{θ}$
联立得${M}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}r}{G}=\frac{（\frac{s}{t}）_{\;}^{2}\frac{s}{θ}}{G}=\frac{{s}_{\;}^{3}}{{t}_{\;}^{2}Gθ}$
答：（1）太阳质量${M}_{1}^{\;}$为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）地球质量${M}_{2}^{\;}$为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（3）月球质量${M}_{3}^{\;}$为$\frac{{s}_{\;}^{3}}{{t}_{\;}^{2}Gθ}$．

点评 解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．