Question

5．如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为l=1m，左侧接一阻值为R=0.5Ω的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，磁场宽度d=1m．一质量为m=1kg的金属棒ab置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．金属棒ab受水平力F作用，从磁场的左边界MN处由静止开始运动，在F作用过程，通过电压传感器测绘出电阻R两端电压U随时间t变化的图象如图所示．某时刻撤去外力F，棒运动到PQ处时恰好静止．问：

（1）金属棒刚开始运动时的加速度为多大？力F作用过程金属棒做何种运动？
（2）金属棒整个运动过程通过电阻R的电荷量q是多少？
（3）外力F作用的时间为多大？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得到U-t关系式，最后推导速度时间关系，然后判断金属棒的运动情况并求解加速度大小；
（2）根据电荷量的经验公式求解电荷量；
（3）根据动量定理求解作用时间．

解答 解：（1）力F作用过程，设速度为v时，金属棒产生的感应电动势：E=Blv
电阻R两端电压：U=E=Blv=0.5×1×v=0.5v
根据U-t图象可得：U=0.2t
由以上两式可得：v=0.4t，即金属棒做匀加速直线运动，加速度为：a=0.4m/s²．
（2）电荷量为：$q=\overline I{t_总}$
平均电流为：$\overline I=\frac{\overline E}{R}$
平均电动势为：$\overline E=\frac{△φ}{t_总}$
磁通变化量为：△φ=Bld
由以上各式解得：$q=\frac{△φ}{R}=\frac{Bld}{R}=1$C
（3）设外力F作用的时间为t，则力F作用时金属棒运动距离为：${x_1}=\frac{1}{2}a{t^2}$
刚撤去外力F时棒的速度为：v₀=at
撤去外力后运动过程，根据动量定理得：$-\overline{F_安}•△t=0-m{v_0}$
平均安培力为：$\overline{F_安}=B\overline Il=\frac{{{B^2}{l^2}\overline v}}{R}$
于是得：$\frac{{{B^2}{l^2}\overline v}}{R}•△t=m{v_0}$
撤去F后棒的位移为：${x_2}=\overline v•△t$
解得：${x_2}=\frac{mR}{{{B^2}{l^2}}}at$
又 x₁+x₂=d
由以上各式联立解得：t=1s．
答：（1）金属棒刚开始运动时的加速度为0.4m/s²，金属棒做匀加速直线运动；
（2）金属棒整个运动过程通过电阻R的电荷量q是1C；
（3）外力F作用的时间为1s．

点评 对于安培力作用下导体棒的运动问题，如果涉及电荷量、求位移问题，常根据动量定理结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律列方程进行解答．