Question

8．在一个竖直面内固定一个半径为R的光滑半圆环，AB为直径，小球从A处沿圆环内侧切线方向射入并在环内运动，如图所示，若小球刚好落在圆心O点，求在A点入射时的初速度v₀多大？（已知R=$\sqrt{3}$m，g=10m/s²）

Answer 1

分析 小球若是能到达圆心O点，说明小球不能沿圆弧运动到达圆弧的最高点，则小球在圆弧的上升阶段离开圆弧，然后向上做斜上抛运动，先判断出小球离开轨道的位置，然后将之后的运动沿水平方向与竖直方向分解，并结合机械能守恒定律即可求解．

解答 解：由题意可知小球在圆环内先做圆周运动，再做斜上抛运动后落到O点．设小球在C点与轨道分离，设OC与OA夹角为θ．
有机械能守恒的：$mgRsinθ=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$ …①
在C点有重力的分力提供向心力：$mgsinθ=\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$  …②
两式联立解的：${{v}_{c}}^{2}=Rgsinθ$，${v}_{0}^{2}=3Rgsinθ$   …③
小球从C点到O点有运动学公式的：Rcosθ=v_csinθ•t    …④
$Rsinθ=-{v}_{c}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
联立以上三式解的：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$        ⑥
代入③式得：${v}_{0}=\sqrt{\sqrt{3}Rg}=\sqrt{\sqrt{3}×\sqrt{3}×10}=\sqrt{30}$m/s
答：在A点入射时的初速度v₀是$\sqrt{30}$m/s．

点评 该题结合机械能守恒定律考查竖直平面内的圆周运动以及斜上抛运动，属于高中物理竞赛的题目，在解答的过程中要注意小球离开轨道时的受力特点是重力的分力恰好提供向心力，这是解答的关键．