Question

4．火星的直径约为地球直径的一半，质量是地球质量的九分之一，公转周期为地球公转周期的两倍．已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R．万有引力常数为G，忽略地球自转，则下列计算正确的是（　　）

• A． 火星的密度为$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度为$\frac{2}{9}g$
• C． 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{2}$：3
• D． 火星绕太阳运动轨道的半长轴与地球绕太阳运动轨道的半长轴之比为2$\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力表示出重力加速度，再去进行比较；研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力，列出等式再去进行比较．

解答 解：A、地球表面重力等于万有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，火星质量${M}_{火}^{\;}=\frac{1}{9}{M}_{地}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{9G}$，${R}_{火}^{\;}=\frac{1}{2}R$，${V}_{火}^{\;}=\frac{4}{3}π{R}_{火}^{3}=\frac{π{R}_{\;}^{3}}{6}$
火星密度${ρ}_{火}^{\;}=\frac{{M}_{火}^{\;}}{{V}_{火}^{\;}}=\frac{2g}{3πRG}$，故A正确
B、根据$m{g}_{火}^{\;}=G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}$，得${g}_{火}^{\;}=\frac{4}{9}g$，故B错误．
C、根据第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$得$\frac{{v}_{火}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，故C正确．
D、根据开普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=K$，$\frac{{R}_{火太}^{\;}}{{R}_{地太}^{\;}}=\root{3}{\frac{{T}_{火}^{2}}{{T}_{地}^{2}}}=\root{3}{4}：1$，故D错误
故选：AC

点评 要比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行比较；向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．