Question

16．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆轨道竖直放置在水平地面上，两个质量分别为m_A=2m、m_B=m的小滑块A、B（可视为质点），静止放在半圆轨道与水平轨道相连接的N处，A、B之间夹有少量炸药，炸药瞬间爆炸后，滑块B通过轨道的最高点M时，对管壁的作用力为0.5mg，水平轨道与滑块A之间的动摩擦因素为μ，重力加速度为g，求：

（1）炸药瞬间爆炸后滑块B的速度大小．
（2）滑块B在水平轨道上的第一落地点与滑块A的最终停止位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）对滑块B从最低点到达最高点的过程中，由机械能守恒列式，由于滑块对管壁的作用力为0.5mg，但不知道力的方向，所以分两种情况，根据牛顿第二定律列式求解速度；
（2）炸药爆炸的过程，由动量守恒列式，滑块A向左滑动过程，由动能定理列式，滑块B离开轨道最高点后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）设炸药瞬间爆炸后滑块B的速度v_B，滑块A的速度v_A，滑块B到达最高点的速度为v．
滑块B从最低点到达最高点的过程中，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg•2R$ ①
①当滑块B在最高点受到管壁内侧的作用为N=0.5mg时，
由牛顿第二定律可得：$mg-N=m\frac{v^2}{R}$②
联立①②解得：${v_B}=\frac{3}{2}\sqrt{2gR}$③
②当滑块B在最高点受到管壁外侧的作用为N′=0.5mg时，
由牛顿第二定律可得：$mg+N'=m\frac{v^2}{R}$④
联立①②解得：$v_B^'=\frac{1}{2}\sqrt{22gR}$⑤
（2）炸药爆炸的过程，由动量守恒得：mv_B-2mv_A=0⑥
滑块A向左滑动过程，由动能定理得：$-μ•2mgS=0-\frac{1}{2}•2m{{v}_{A}}^{2}$⑦
滑块B离开轨道最高点后做平抛运动，有：S_B=v•t$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$⑧
滑块B在水平轨道上的落地点与滑块A的距离△S=S_B-S_A⑨
联立③⑥⑦⑧⑨解得：$△S=（\sqrt{2}-\frac{9}{16μ}）R$
联立⑤⑥⑦⑧⑨解得：$△S'=（\sqrt{6}-\frac{11}{16μ}）R$
答：（1）炸药瞬间爆炸后滑块B的速度大小为$\frac{3}{2}\sqrt{2gR}$或$\frac{1}{2}\sqrt{22gR}$．
（2）滑块B在水平轨道上的第一落地点与滑块A的最终停止位置之间的距离为$（\sqrt{2}-\frac{9}{16μ}）R$或$（\sqrt{6}-\frac{11}{16μ}）R$．

点评 本题解题的关系是分析清楚运动过程，应用动能定理、牛顿第二定律、动量守恒定律列式解题，注意滑块对管壁的作用力为0.5mg，但不知道力的方向，所以分两种情况分别求解，难度适中．