Question

如图示为间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端电阻R，一电阻是r、质量为m的导体棒ab放置在导轨上，在外力F作用下从t=0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v=v_msinωt，不计导轨电阻，试求：
（1）t=0到t=

2π

ω

时间内电阻R产生的热量
（2）从t=0到t=

π

2ω

时间内外力F所做的功．

Answer 1

分析：（1）由题ab棒运动时的速度为v=v_msinωt，产生的感应电动势为E=BLv=BLv_msinωt，是正弦式电流，求出电动势的最大值E_m，有效值为E=

2

2

Em，电流有效值为I=

E

R+r

，根据焦耳定律用有效值求解热量．
（2）从t=0到t=

π

2ω

时间内外力F所做的功将外界的能量转化为动能和内能，根据能量守恒定律求解外力做功．

解答：解：（1）ab棒运动时的速度为v=v_msinωt，产生的感应电动势为：E=BLv=BLv_msinωt，
其最大值为：E_m=BLv_m
有效值：E=

2

2

Em
通过R的电流的有效值为：I=

E

R+r

，
电阻R产生的热量为：Q=I²Rt=

πRB2L2 v 2 m

ω(R+r)2

（2）由能量守恒定律可知：从t=0到t=

π

2ω

时间内外力F所做的功将外界的能量转化为动能和内能，则有
外力做功为：
W_F=

1

2

m

v

2 m

+

E2

R+r

?

π

2ω

=

1

2

m

v

2 m

+

πB2L2 v 2 m

4ω(R+r)

答：
（1）t=0到t=

2π

ω

时间内电阻R产生的热量是

πRB2L2 v 2 m

ω(R+r)2

．
（2）从t=0到t=

π

2ω

时间内外力F所做的功是

1

2

m

v

2 m

+

πB2L2 v 2 m

4ω(R+r)

．

点评：能够把电磁感应和能量守恒定律结合解决问题．要知道正弦交变电流产生热量用电流的有效值求解．