Question

（2013?黑龙江模拟）如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系xOy，虚线CD与坐标轴分别交于C点和D点，在虚线CD的上方存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴左侧与虚线CD下方相交的区域存在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场，现有一群质量为m、电荷量为+q的带电粒子在纸面内以大小不同的速度从D点沿y轴正方向射入磁场，所有粒子经磁场偏转后，均能够沿x轴负方向垂直进入电场中，已知D点与原点O之间的距离为d，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．
（1）如果某带电粒子的运动路径恰好通过C点，求该带电粒子射入磁场时的速度v；
（2）假如带电粒子射入磁场时的速度为v₀，且v₀小于（1）中的v，求带电粒子从D点出发到返回x轴所用的时间．

Answer 1

分析：（1）带电粒子的运动路径恰好通过C点，根据圆心在垂直速度方向的直线上，得出O点为圆心，从而得出圆周运动的轨道半径，结合洛伦兹力提供向心力求出粒子射入磁场时的速度．
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场做匀速直线运动，进入电场做类平抛运动，结合运动学公式求出各段过程的时间，从而得出带电粒子从D点出发到返回x轴所用的时间．

解答：解：（1）粒子通过C点时的速度方向水平，故粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心为原点O，半径为r₀
则：r₀=d
根据洛伦兹力提供向心力有：qvB=m

v2

r0

联立解得v=

qBd

m

．
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，半径为r，在磁场中运动的时间为t₁，有：

T=

2πr

v0

qv0B=m

v02

r

解得t1=

T

4

=

πm

2qB

．
离开磁场后做匀速直线运动，时间为t₂，有：
v₀t₂=d-r
则t2=

d-r

v0

进入电场后做类平抛运动，经过时间t₃返回x轴，有：
r=

1

2

at32   
a=

qE

m

又因为t=t₁+t₂+t₃，
联立解得t=

m

qB

(

π

2

-1+

2EBv0

E

)+

d

v0

．
答：（1）该带电粒子射入磁场时的速度v=

qBd

m

．
（2）带电粒子从D点出发到返回x轴所用的时间t=

m

qB

(

π

2

-1+

2EBv0

E

)+

d

v0

．

点评：解决本题的关键画出粒子运动的轨迹图，理清粒子在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．