Question

如图甲所示装置中，左侧是宽度为L的有界磁场，磁场方向垂直纸面向内．M、N为水平放置的平行导体板，长度为L，间距为d，加上电压后不考虑电场边缘效应，O₁O₂为两极板的中线．P是足够大的荧光屏，且屏与极板右边缘的距离也为L．质量为m、电荷量为e的电子从磁场左侧图示位置进入磁场，速度大小为v₀，方向与水平成θ角．经过磁场偏转后，速度沿水平方向从O₁位置进入MN板间区域，求：
（1）磁场磁感应强度B大小；
（2）若极板M、N间加恒定电压，电子经过电场偏转后正好打中屏上的A点，A点与极板M的同一水平线上，求M、N间所加电压U．
（3）若M、N间所加电压按如图乙所示周期性变化，要使电子磁场后在t=0时刻进入偏转电场后水平击中A点，试确定偏转电场电压U₀以及周期T分别应该满足的条件．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律，结合洛伦兹力可求出磁感应强度的大小；
（2）粒子出电场后反向速度的反向延长线经过偏转电场中轴线的中点，根据几何关系得出速度与水平方向的夹角，结合牛顿第二定律和运动学公式求出偏转电压的大小．
（3）要使电子在水平在水平方向击中A点，电子必向上极板偏转，且v_y=0，则电子应在t=0时刻进入偏转电场，且电子在偏转电场中运动的时间为整数个周期．抓住时间与周期的关系求出周期的通项表达式．根据运动的对称性，知粒子在一半时间内在竖直方向上的位移等于

d

2

，根据该关系求出偏转电压的通项表达式．

解答：解：（1）电子经磁场偏转，洛伦兹力提供向心力，则有：evB=

mv

eB

；
由几何关系，L=Rsinθ                  
解得：B=

mv0sinθ

eL

（2）由题意知，电子经偏转电场偏转后做匀速直线运动到达A点，设电子离开偏转电场时的偏转角为θ，则由几何关系得：

d

2

=（L+

L

2

）tanθ              
解得：tanθ=

d

3L

又tanθ=

vy

v0

 
vy=

eU

md

t
L=v₀t
解得：U=

md2 v 2 0

3eL2

（3）要使电子在水平在水平方向击中A点，电子必向上极板偏转，且v_y=0，则电子应在t=0时刻进入偏转电场，且电子在偏转电场中运动的时间为整数个周期，设电子从加速电场射出的速度为v₀，则
因为电子水平射出，则电子在偏转电场中的运动时间满足t=

L

v0

=nT      
则T=

L

mv0

（n=1，2，3，4…）        
在竖直方向位移应满足

d

2

=2n×

1

2

a（

T

2

）²=2n×

1

2

?

eU0

md

（

T

2

）²     
解得：U₀=

2nmd2 v 2 0

eL2

（n=1，2，3，4…）
答：（1）磁场磁感应强度B=

mv0sinθ

eL

．
（2）偏转电场所加电压为U=

md2 v 2 0

3eL2

．
（3）偏转电场电压为U₀=

2nmd2 v 2 0

eL2

（n=1，2，3，4…），满足的周期关系为T=

L

mv0

（n=1，2，3，4…）．

点评：本题是带电粒子先加速后偏转问题，电场中加速根据动能定理求解获得的速度、偏转电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解和合成．