Question

16．图甲所示为儿童乐园中的滑梯，可等效为由两段不同倾角、粗糙程度相同、底边长度均为L的斜面组成，其简化图如图乙所示，两段不同倾角、底边相等的斜面相关数据已经标注在图乙中，若儿童在滑梯中从最高点由静止下滑，到达最低点时速度恰好为零，重力加速度为g．
（1）求儿童与滑梯之间的动摩擦因数μ；
（2）分别求儿童在两段滑梯上滑动所用的时间t₁、t₂．

Answer 1

分析 （1）对儿童在滑梯上时进行受力分析，然后对两段斜面上的运动分别应用动能定理即可求得动摩擦因数；
（2）根据（1）的受力分析，利用牛顿第二定律求得加速度，然后对两段斜面上的运动应用匀变速运动的位移公式即可求得运动时间．

解答 解：（1）儿童在滑梯上受重力、支持力、摩擦力作用，故在倾角为α的斜面上时合外力F₁=mgsinα-μmgcosα，在倾角为β的斜面上时合外力F₂=mgsinβ-μmgcosβ；
设儿童在两斜面相接处速度为v，那么根据儿童在滑梯中从最高点由静止下滑，到达最低点时速度恰好为零，由动能定理可得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}={F}_{1}\frac{L}{cosα}=-{F}_{2}\frac{L}{cosβ}$；
所以，F₁cosβ+F₂cosα=0，即mg（sinαcosβ+sinβcosα）-2μmgcosαcosβ=0；所以，$μ=\frac{sinαcosβ+sinβcosα}{2cosαcosβ}=\frac{1}{2}（tanα+tanβ）$；
（2）由（1）可得：在倾角为α的斜面上时儿童加速度a₁=（sinα-μcosα）g，在倾角为β的斜面上时儿童加速度a₂=（sinβ-μcosβ）g；
所以，儿童在倾角为α的斜面上运动的时间${t}_{1}=\sqrt{\frac{2×\frac{L}{cosα}}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{4L}{（sinαcosα-tanβco{s}^{2}α）g}}$；
儿童在倾角为β的斜面上运动的时间${t}_{2}=\sqrt{\frac{2×\frac{L}{cosβ}}{-{a}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{4L}{（tanαco{s}^{2}β-sinβcosβ）g}}$；
答：（1）儿童与滑梯之间的动摩擦因数μ为$\frac{1}{2}（tanα+tanβ）$；
（2）求儿童在两段滑梯上滑动所用的时间分别为$\sqrt{\frac{4L}{（sinαcosα-tanβco{s}^{2}α）g}}$、$\sqrt{\frac{4L}{（tanαco{s}^{2}β-sinβcosβ）g}}$．

点评 在物体运动学问题中，一般先对物体进行受力分析，利用牛顿第二定律求得加速度，然后应用运动学规律求得运动位移、速度、时间等问题．