Question

如图所示，水平固定放置的平行金属板M、N，两板间电势差为U，板间距离为d，两板间有竖直固定的半径为

1

4

d的绝缘光滑半圆形管道，管道圆心O在两板间中心（即圆心O到上、下板距离相等，到板左、右端距离相等）．现有一质量为m、带正电荷、电量q=

2mgd

U

的小球从A处以速度v0=

gd

水平进入管道（小球直径略小于管道直径且两者直径均可忽略不计），小球离开管口B后恰好从平行金属板边界飞出．求：
（1）小球刚运动至B处时的速度大小；
（2）小球刚运动至处B时对管道的弹力；
（3）平行金属板的长度L．

Answer 1

分析：（1）分析小球进入管道中的受力情况：重力、电场力和管道的弹力，电场力大小F=qE=q

U

d

=2mg．小球从A到B的过程中重力和电场力做功，其合力做功为（qE-mg）?2R，根据动能定理求解小球刚运动至B处时的速度大小．
（2）小球刚运动至处B时，由重力、电场力和管道的弹力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律求解小球刚运动至处B时对管道的弹力．
（3）小球从B点离开后作类平抛运动，竖直方向的位移大小等于

d

4

，加速度大小为g；水平方向做匀速直线运动，由运动学公式求解水平位移，L等于其水平位移的2倍．

解答：解：（l）对小球在电场中受力分析得qE=q

U

d

=2mg
        F_合=qE-mg=mg 方向竖直向上
小球到达B点速度为v_B，小球从A到B由动能定理得：
       F合?2R=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

得：vB=

2gd

（2）小球刚运动至处B时受管道的弹力N，受力如图所示：
    N+mg-qE=m

v 2 B

R

得N=9mg
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为9mg，方向竖直向上．
（3）小球从B点离开后作类平抛运动，竖直方向受到恒定作用力，水平方向做匀速直线运动，
   则有：
水平方向：s=v_Bt
竖直方向：a=

qE-mg

m

=g，

d

4

=

1

2

at2
  代入解得s=d
所以，板长L=2s=2d
答：
（1）小球刚运动至B处时的速度大小是

2gd

；
（2）小球刚运动至处B时对管道的弹力大小为9mg，方向竖直向上；
（3）平行金属板的长度L=2d．

点评：本题整合了动能定理、牛顿运动定律和类平抛运动等多个知识点，但难度不大，只要基本功扎实可以正确解答．