Question

10．某两级串列加速器外形设计酷似“U”型，其主体结构简图如图所示，其中ab、cd为两底面为正方形的长方体加速管，加速管长为L，底面边长为r且两加速管底面有一边在一条线上．两加速管中心轴线的距离为D=49r，加速管内存在和轴线平行的匀强电场，b、d的下方区域存在垂直两加速管轴线平面的匀强磁场，磁感强度大小为B，现将速度很小的负一价粒子均匀地从a端面输入，经过加速管ab加速，垂直进入匀强磁场偏转，到达d处时，可被设在d处的特殊装置将其电子剥离（粒子速度不变，特殊装置大小可忽略），成为三价正粒子，沿轴线进入的粒子恰能沿两加速管轴线加速，已知b、d两端相等，a、c两端电势相等，元电荷为e，该粒子质量为m，不计粒子重力及粒子间相互作用力．
（1）试求a、b两端的电势差U_ab．
（2）仅改变加速管电压，则粒子在加速器中经历的最短时间是多少？
（3）实际工作时，磁场可能会与设计值B有一定偏差△B，而会以B-△B至B+△B间的某一确定值工作，若要求至少有90%的粒子能被成功加速，试求偏差△B的最大值．

Answer 1

分析 （1）加速电场中运用动能定理，在磁场中运用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，即可求出a、b两端的电势差U_ab；
（2）分别对两个加速管运用动能定理，根据两个加速管的电压相同，求出粒子速度关系，再求出粒子在加速管中运动的时间t₁以及粒子在磁场中运动的时间t₂加和即可，根据周期公式可知t₂为半个周期，是一定值，t₁越短，粒子运动的总时间也越短，在磁场中运动的半径最大，再根据洛伦兹力提供向心力，联立即可求出粒子在加速器中经历的最短时间；
（3）根据洛伦兹力提供向心力几何临界结合关系即可求出偏差△B的最大值．

解答 解：（1）沿轴线加速的粒子从b端进入磁场时速度为v，在磁场中运动的直径为D，则：
-eU_ab=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
evB=$\frac{m{v}^{2}}{\frac{D}{2}}$ ②
联立①②两式可得：U_ab=$-\frac{{D}^{2}e{B}^{2}}{8m}$
（2）在ab加速管中：-eU_ab′=$\frac{1}{2}m{v′}^{2}$ ③
在cd加速管中：-3eU_cd′=$\frac{1}{2}mv{″}^{2}$-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$ ④
又U_ab′=U_cd′⑤
由③④⑤式子可知：v″=2v′⑥
在加速管中总时间为t₁=$\frac{L}{\frac{v′}{2}}$+$\frac{L}{\frac{v′+v″}{2}}$=$\frac{8L}{3v′}$ ⑦
粒子在磁场中运动的时间与速度无关：t₂=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{2}•\frac{2πm}{eB}$=$\frac{πm}{eB}$⑧
若在电场中时间最短，则粒子末速度最大，粒子以最大半径运动时速度最大，此时直径d=D+r
即：ev′B=$\frac{mv{′}^{2}}{\frac{D+r}{2}}$⑨
由⑥⑦⑧⑨式可得粒子在加速器中经历的最短时间：t_min=$[\frac{16L}{3（D+r）}+π]\frac{m}{eB}$=$[\frac{16L}{150r}+π]\frac{m}{eB}$
（3）按照设计要求工作时粒子在磁场中运动时，evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$⑩
且2R=D⑪
当磁场为B′时，R′=$\frac{mv}{eB′}$⑫
要求90%的粒子能实现加速
若磁场变弱，则：$\frac{2R′-D}{r}$＜0.1⑬
联立⑩⑪⑫⑬式得：B′＞$\frac{49}{50}$B
此时偏差△B=B-$\frac{49}{50}$B=$\frac{B}{50}$
若磁场变强，则：$\frac{D-2R′}{r}$＜0.1⑭
联立⑩⑪⑫⑭式得：B′＜$\frac{49}{48}$B
此时偏差△B=$\frac{49}{48}$B-B=$\frac{1}{48}$B
综上所述偏差△B的最大值：△B_max=$\frac{B}{50}$
解：（1）a、b两端的电势差U_ab为$-\frac{{D}^{2}e{B}^{2}}{8m}$；
（2）仅改变加速管电压，粒子在加速器中经历的最短时间为$[\frac{16L}{150r}+π]\frac{m}{eB}$；
（3）实际工作时，磁场可能会与设计值B有一定偏差△B，而会以B-△B至B+△B间的某一确定值工作，若要求至少有90%的粒子能被成功加速，偏差△B的最大值为$\frac{B}{50}$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题关键是要读懂题，找出已知条件，清楚粒子运动的过程，选择合适的规律解题，第一问较为常规难度不大；第二问要注意分析时间最短的条件；第三问磁感应强度发生波动时，要注意有两种情况：变大或者变小，分别求两次的波动值，取两次波动值中的较大的即为偏差△B的最大值．