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磁悬浮列车是一种高速运载工具.它具有两个重要系统:一是悬浮系统,利用磁力使车体在导轨上悬浮起来;另一是驱动系统,在沿轨道上安装的三相绕组中,通上三相交流电,产生随时间和空间做周期性变化的磁场,磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力.精英家教网
设图中xOy平面代表轨道平面,x轴与轨道平行,现有一与轨道平面垂直的磁场正以速度v向-x方向匀速运动,设在t=0时,该磁场的磁感应强度B的大小随空间位置x的变化规律为B=B0coskx(式中B0、k为已知常量),且在y轴处,该磁场垂直xOy平面指向纸里.与轨道平面平行的一金属矩形框MNPQ处在该磁场中,已知该金属框的MN边与轨道垂直,长度为L,固定在y轴上,MQ边与轨道平行,长度为d=
π
k
,金属框的电阻为R,忽略金属框的电感的影响.求:
(1)t=0时刻,金属框中的感应电流大小和方向;
(2)金属框中感应电流瞬时值的表达式;
(3)经过t=
10π
kv
时间,金属框产生的热量;
(4)画出金属框受安培力F随时间变化的图象.
分析:(1)根据切割感应电动势与闭合电路欧姆定律,即可确定感应电流的大小,再由右手定则可确定感应电流的方向;
(2)根据闭合电路欧姆定律,与运动学公式,即可求解;
(3)根据焦耳定律,即可求解;
(4)根据安培力的表达式,结合前面的结论,从而可根据关系式,作出图象.
解答:解:(1)磁场向-x方向运动,等效金属框向x方向运动.
t=0时刻,金属框产生的电动势e=2B0Lv 
由闭合电路欧姆定律,则有 i=
e
R
=
2B0Lv
R

电流的方向根据右手定则可知为M→N→P→Q→M
(2)设经过时间t,金属框MN所在处磁场强度为B,i=
2BLv
R
=
2B0Lv
R
cos(kx)

又x=vt,得到电流瞬时值的表达式是:i=
2B0Lv
R
cos(kvt)
,是正弦式电流.
(3)根据焦耳定律,则有Q=(
Im
2
)2Rt=
20π
B
2
0
L2v
kR
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(4)金属框受安培力的方向始终向左.设经过时间t,
金属框受到安培力为F=2BiL=
4B2L2v
R
=
4
B
2
0
L2v
R
cos2(kvt)=
2
B
2
0
L2v
R
[cos(2kvt)+1]

由此可知:金属框受到安培力F随时间变化的图象如右图:
答:(1)t=0时刻,金属框中的感应电流大小
2B0Lv
R
和方向为M→N→P→Q→M;
(2)金属框中感应电流瞬时值的表达式:i=
2B0Lv
R
cos(kvt)

(3)经过t=
10π
kv
时间,金属框产生的热量
20π
B
2
0
L2v
kR

(4)画出金属框受安培力F随时间变化的图象如上图所示.
点评:考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与焦耳定律,掌握右手定则,注意与左手定则的区别,同时由电流的有效值来确定热量的多少,最后掌握安培力的表达式,突出电流变化的关系式.
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(1)t=0时刻,实验车的速度为零,求此时金属框受到的磁场力的大小和方向;
(2)已知磁悬浮状态下,实验车运动时受到的阻力恒为f1=0.20N,求实验车的最大速率vm
(3)若将该实验车A与另外一辆质量相等但没有驱动装置的磁悬浮实验车P挂接,设A与P挂接后共同运动所受阻力恒为f2=0.50N.A与P挂接并经过足够长时间后已达到了最大速度,这时撤去驱动磁场,保留磁悬浮状态,A与P所受阻力f2保持不变,那么撤去驱动磁场后A和P还能滑行多远?

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(2)设列车所受阻力大小恒为f,假如使列车水平向右以速度v做匀速运动,求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量;
(3)设列车所受阻力大小恒为f,假如用两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动列车,当两磁场运动的时间为t1时,列车正在向右做匀加速直线运动,此时列车的速度为v1,求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间t0

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(1)设t=0时刻,实验车的速度为零,求金属框受到的磁场力的大小和方向;
(2)已知磁悬浮状态下,实验车运动时受到恒定的阻力 f1=0.20N,求实验车的最大速率vm
(3)实验车A与另一辆磁悬浮正常、质量相等但没有驱动装置的磁悬浮实验车P挂接,设A与P挂接后共同运动所受阻力f2=0.50N.A与P挂接并经过足够长时间后的某时刻,撤去驱动系统磁场,设A和P所受阻力保持不变,求撤去磁场后A和P还能滑行多远?
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