Question

磁悬浮列车是一种高速运载工具．它具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力使车体在导轨上悬浮起来；另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组中，通上三相交流电，产生随时间和空间做周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力．
设图中xOy平面代表轨道平面，x轴与轨道平行，现有一与轨道平面垂直的磁场正以速度v向-x方向匀速运动，设在t=0时，该磁场的磁感应强度B的大小随空间位置x的变化规律为B=B₀coskx（式中B₀、k为已知常量），且在y轴处，该磁场垂直xOy平面指向纸里．与轨道平面平行的一金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知该金属框的MN边与轨道垂直，长度为L，固定在y轴上，MQ边与轨道平行，长度为d=

π

k

，金属框的电阻为R，忽略金属框的电感的影响．求：
（1）t=0时刻，金属框中的感应电流大小和方向；
（2）金属框中感应电流瞬时值的表达式；
（3）经过t=

10π

kv

时间，金属框产生的热量；
（4）画出金属框受安培力F随时间变化的图象．

Answer 1

分析：（1）根据切割感应电动势与闭合电路欧姆定律，即可确定感应电流的大小，再由右手定则可确定感应电流的方向；
（2）根据闭合电路欧姆定律，与运动学公式，即可求解；
（3）根据焦耳定律，即可求解；
（4）根据安培力的表达式，结合前面的结论，从而可根据关系式，作出图象．

解答：解：（1）磁场向-x方向运动，等效金属框向x方向运动．
t=0时刻，金属框产生的电动势e=2B₀Lv 
由闭合电路欧姆定律，则有 i=

e

R

=

2B0Lv

R

电流的方向根据右手定则可知为M→N→P→Q→M
（2）设经过时间t，金属框MN所在处磁场强度为B，i=

2BLv

R

=

2B0Lv

R

cos(kx)
又x=vt，得到电流瞬时值的表达式是：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)，是正弦式电流．
（3）根据焦耳定律，则有Q=(

Im

2

)2Rt=

20π B 2 0 L2v

kR

（4）金属框受安培力的方向始终向左．设经过时间t，
金属框受到安培力为F安=2BiL=

4B2L2v

R

=

4 B 2 0 L2v

R

cos2(kvt)=

2 B 2 0 L2v

R

[cos(2kvt)+1]
由此可知：金属框受到安培力F随时间变化的图象如右图：
答：（1）t=0时刻，金属框中的感应电流大小

2B0Lv

R

和方向为M→N→P→Q→M；
（2）金属框中感应电流瞬时值的表达式：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)；
（3）经过t=

10π

kv

时间，金属框产生的热量

20π B 2 0 L2v

kR

；
（4）画出金属框受安培力F随时间变化的图象如上图所示．

点评：考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律与焦耳定律，掌握右手定则，注意与左手定则的区别，同时由电流的有效值来确定热量的多少，最后掌握安培力的表达式，突出电流变化的关系式．