Question

一条宽为L的河，水流速度为v₁，船在静水中的速度为v₂，那么：

（1）怎样渡河时间最短？最短时间是多少？

（2）若v₁＜v₂，怎样渡河位移最小？

（3）若v₁＞v₂，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

答案：（1）如图4-1-6甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，这时船速在y方向的速度分量为v_y=v₂sinθ，渡河所需时间为：t=

    可以看出：在L、v₂一定时，t随sinθ的增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为：t_min=

 

图4-1-6

（2）如图4-1-6乙所示，渡河的最小位移为河的宽度，为了使船渡河的位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的分量v_x=0.这时船头应指向河的上游，并与岸成一定的角度θ，则有：cosθ=

    所以θ=arccos()

    因为0≤cosθ≤1，所以只有在v₁＜v₂时，船才有可能垂直河岸渡河.

（3）如果水流速度v₁大于船在静水中的速度v₂时，则不论船方向如何，总被水流冲向下游.怎样才能使漂下的距离最短呢？如图4-1-6丙所示，设船头（v₂）与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角.可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？以v₁的矢尖为圆心，以v₂的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大.根据cosθ=，所以船头与河岸的夹角应为：θ=arccos().