Question

如图甲所示，两光滑的平行导轨MON与PO′Q，其中ON、O′Q部分是水平的，倾斜部分与水平部分用光滑圆弧连接，Q、Ⅳ两点间接有电阻尺，导轨间距为L．水平导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是cdef和ghjk），磁场方向垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感应强度为B₀的恒定磁场区，Ⅰ区磁场的宽度为x₀，磁感应强度随时间变化．一质量为m、电阻为R的导体棒垂直于导轨放置在Ⅰ区磁场中央位置，t=0时刻Ⅰ区磁场的磁感应强度大小从B₁开始均匀减小至零，如图乙所示，导体棒在安培力的作用下运动的v-t图象如图丙所示．求：
（1）t=0时刻，导体棒运动的加速度a；
（2）导体棒穿过Ⅰ区磁场边界过程中安培力所做的功；
（3）Ⅱ区磁场的宽度x₁．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律求解出感应电动势；根据欧姆定律求解出电流；计算出安培力后根据牛顿第二定律求解出加速度；
（2）根据动能定理列式求解安培力的功，根据动生电动势和感生电动势合成得到电动势，求出电流和电功率；
（3）结合图象并运用微元法，得到Ⅱ区宽度，然后根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、切割式等列式分析计算．

解答：解：（1）t=0时刻，感应电动势 E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=

B1

t0

?

Lx0

2

，
感应电流 I=

E

2R

导体棒受到向左的安培力，大小为F=B₁IL=

B 2 1 L2x0

4Rt0

 
导体棒有向左的加速度，大小为 a=

F

m

=

B 2 1 L2x0

4mRt0

（2）由丙图知：

1

2

t₀时刻导体棒穿出磁场速度为v₀，由动能定理得：安培力的功为W=

1

2

m

v

2 0

．
（3）磁场Ⅱ区宽度为x₁，棒在Ⅱ区任一时刻速度为v，E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力 F=B₀IL=

B 2 0 L2v

2R

加速度大小a=

B 2 0 L2v

2mR

由加速度定义得：a=-

△v

△t

得
△v=-a△t=-

B 2 0 L2v

2mR

△t
穿过磁场Ⅱ区全程
∑△v=-

B 2 0 L2

2mR

v△t=-

B 2 0 L2

2mR

△x₁
因∑△v=

1

2

v0-v₀，△x₁=x₁
所以得x₁=

mRv0

B 2 0 L2

答：
（1）t=0时刻，导体棒运动的加速度a是

B 2 1 L2x0

4mRt0

；
（2）导体棒穿过Ⅰ区磁场边界过程中安培力所做的功是

1

2

m

v

2 0

；
（3）Ⅱ区磁场的宽度x₁是

mRv0

B 2 0 L2

．

点评：此题关键结合图象得到导体棒的运动规律；第三题要结合微元法求解，切入点是加速度的定义式．