Question

12．一玻璃四棱柱ABCD-A′B′C′D′平放在水平桌面上，底面ABCD是边长为a=6$\sqrt{3}$cm的正方形，棱高为h=6cm，现在下底面ABCD中心O处放一点光源，不考虑反射光，玻璃的折射率为$\sqrt{2}$，求上底面A′B′C′D′发光的面积．（结果可含π和根号）

Answer 1

分析 上底面A′B′C′D′发光的面积即为透光面积，先根据sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角C．根据几何知识求发光面的半径，再求发光的面积．

解答 解：根据折射定律，有 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得全反射临界角 C=45°
作出俯视图如下图所示．

根据几何知识可得上底面A′B′C′D′发光面积的半径 r=h=6cm
如图所示，cos∠1=$\frac{\frac{1}{2}a}{r}$=$\frac{\frac{1}{2}×6\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得∠1=30°
由对称性和几何知识得：α=90°-2∠1=30°
所以发光面积为 S=a²-8[$\frac{a}{8}$（a-r）-$\frac{π{r}^{2}}{24}$=ar+$\frac{π{r}^{2}}{3}$
代入数据解得 S=（36$\sqrt{3}$+12π）cm²．
答：上底面A′B′C′D′发光的面积为（36$\sqrt{3}$+12π）cm²．

点评 解决本题关键要掌握全反射临界角的含义及公式，灵活运用几何知识进行解答．