Question

（2006?广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

Answer 1

分析：明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．

解答：解：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．

Gm2

R2

+

Gm2

(2R)2

=m

v2

R

v=

5Gm 4R

T=

2πR

v

=4πR

R 5Gm

  ①
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，

由万有引力定律和牛顿第二定律得：
2

Gmm

l2

cos30°=m

l

2cos30°

(

2π

T

)2   ②
有①②解得：l=

3	12 5

R．
答：（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度为

5Gm 4R

，周期为4πR

R 5Gm

．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为

3	12 5

R．

点评：万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．