Question

14．宇航员站在某一星球距离表面h高处，以初速度v₀沿水平方向抛出一个质量为m的小球，经过时间t后，小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g
（2）小球即将落地时重力的功率P
（3）该星球的密度ρ

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动公式求星球表面的重力加速度；
（2）根据$P=mg{v}_{y}^{\;}$求小球落地时重力的瞬时功率；
（3）根据重力等于万有引力求出星球质量，由密度公式求出星球密度；

解答 解：（1）根据$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）小球即将落地时重力的功率$P=mg{v}_{y}^{\;}=mg•gt=\frac{4m{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{3}}$
（3）根据重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
即$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πGR{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度g为$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）小球即将落地时重力的功率P为$\frac{4m{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{3}}$
（3）该星球的密度ρ为$\frac{3h}{2πGR{t}_{\;}^{2}}$

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．