Question

8．如图，MN是透明半球体的轴线，半球体球心为O，半径为R，在真空中某单色光束AB平行于MN射向半球体，B为入射点，OB=$\frac{R}{2}$，出射光线CD（图中未画出）与MN的交点P到球心O的距离为$\sqrt{3}$R，已知光在真空中的传播速度为c．
（1）求透明半球体的折射率n；
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，求光线在半球体中传播的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出光路图，根据几何关系求出光线在半球面上的入射角与折射角，根据折射定律求解折射率．
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，可判断出光线在半球体内发生全反射，由几何关系求光线在半球体内传播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求得光线半球体内传播速度，从而求得传播时间．

解答 解：（1）光线AB垂直OB面进入半球体，沿直线传播，在右球面处发生折射，折射光线CD与MN交点为P，光路如图所示．
则 入射角 θ=30°
在△OCP中，由正弦定理得：
$\frac{\sqrt{3}R}{sin（180°-α）}$=$\frac{R}{sin（α-θ）}$
解得：α=60°
由折射定律得：n=$\frac{sinα}{sinθ}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（2）如图，若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，入射角θ=45°

而全反射临界角sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即θ＞C，光线在半球面上发生全反射，
光线在半球体内传播的路程为：s=2$\sqrt{2}$R
光线在半球体内传播的速度为：v=$\frac{c}{n}$
则光线在半球体内传播的时间为：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$
答：（1）透明半球体的折射率n是$\sqrt{3}$；
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，光线在半球体中传播的时间t是$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$．

点评 本题关键要掌握光的折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，并能灵活运用数学知识帮助解决物理问题．