Question

在绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图（甲）所示，已知B处电荷的电量为+Q．图（乙）是AB连线之间的电势φ与位置x之间的关系图象，图中x=L点为图线的最低点，x=-2L处的纵坐标φ=φ₀，x=0处的纵坐标φ=

25

63

φ₀，x=2L处的纵坐标φ=

3

7

φ₀．若在x=-2L的C点由静止释放一个质量为m、电量为+q的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动．求：

（1）固定在A处的电荷的电量Q_A；
（2）为了使小物块能够到达x=2L处，试讨论小物块与水平面间的动摩擦因数μ所满足的条件；
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数μ=

kqQ

3mgL2

，小物块运动到何处时速度最大？并求最大速度v_m；
（4）试画出μ取值不同的情况下，物块在AB之间运动大致的速度-时间关系图象．

Answer 1

（1）由图（乙）得，x=L点为图线的最低点，切线斜率为零，
即合场强E_合=0
所以

kQA

rA2

=

kQB

rB2

得

kQA

(4L)2

=

kQB

(2L)2

解得Q_A=4Q；
（2）物块先做加速运动再做减速运动，到达x=2L处速度v_t≥0
从x=-2L到x=2L过程中，由动能定理得：
qU1-μmgs1=

1

2

mv12-0，
即q(φ0-

3

7

φ0)-μmg(4L)=

1

2

mv12-0≥0
解得μ≤

qφ0

7mgL

；
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为l_A
则：

k?q(4Q)

lA2

-

k?qQ

(6L-lA)2

-μmg=0
解得l_A=3L，即小物块运动到x=0时速度最大．
小物块从x=-2L运动到x=0的过程中，由动能定理得：
qU2-μmgs2=

1

2

mvm2-0
代入数据：q(φ0-

25

63

φ0)-μmg(2L)=

1

2

mvm2-0
解得vm=

76qφ0 63m - 4kqQ 3mL

（4）物块在AB之间运动大致的速度-时间关系图象可能为：

答：（1）固定在A处的电荷的电量Q_A为4Q．
（2）为了使小物块能够到达x=2L处，小物块与水平面间的动摩擦因数μ所满足的条件为μ≤

qφ0

7mgL

．
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数μ=

kqQ

3mgL2

，小物块运动到离A点的距离为3L处时速度最大．最大速度v_m为

76qφ0 63m - 4kqQ 3mL

．
（4）画出μ取值不同的情况下，物块在AB之间运动大致的速度-时间关系图象，如上图所示．