Question

18．如图所示，质量M=10kg，上表面光滑的足够长木板在水平拉力F=50N作用下，以v₀=5m/s初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们质量均为m=1kg．现将一铁块无初速地放在木板最右端，当木板运动了L=1m时，又无初速地在木板最右端放上第二个铁块，只要木板运动了L就在木板最右端无初速放一铁块．求：
（1）第一个铁块放上后，木板运动L=1m时，木板的速度多大？
（2）最终有几个铁块能留在木板上？
（3）最后一个铁块与木板右端距离为多大？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）开始木板做匀速运动，由平衡条件求出木板受到的滑动摩擦力，然后由滑动摩擦力公式求出动摩擦因数．铁块放在木板上后，木板对地面的压力变大，木板受到的滑动摩擦力变大，由牛顿第二定律和运动学公式结合可以求出即将放上第1块铁块时木板的速度．
（2）运用归纳法分别得到第2块铁块放上后、第3块铁块放上后…第n块铁块放上后木板的速度表达式，得到v_n的表达式，要使木板停下，v_n=0，即可求解．
（3）第n块木块时木板停止运动，则先求出n时的速度和加速度，然后求出加上n时的位移即可．

解答 解：（1）木板最初做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得：
竖直方向：F_N=Mg，
水平方向：F_f=F，
滑动摩擦力F_f=μF_N，则得F=μMg
解得：μ=0.5；
放第1块铁块后，木板做匀减速运动，则有：
μ（M+m）g-F=Ma₁；
2a₁L=${{v}_{0}}^{2}$
代入数据解得：v₁=2$\sqrt{6}$m/s
（2）设最终有n块铁块能静止在木板上．
则木板运动的加速度大小为：a_n=$\frac{μnmg}{M}$
第1块铁块放上后有：2a₁L=${{v}_{0}}^{2}$-${{v}_{1}}^{2}$
第2块铁块放上后有：2a₂L=${{v}_{1}}^{2}$-${{v}_{2}}^{2}$…
第n块铁块放上后有：2a_nL=${{v}_{n-1}}^{2}$-${{v}_{n}}^{2}$
由以上各相加得：（1+2+3+…+n）$•2•\frac{μmg}{M}•L={{v}_{0}}^{2}-{{v}_{n}}^{2}$
要使木板停下来，必须有v_n=0，代入解得：6＜n＜7
故最终有7块铁块放在木板上．
（3）加上第7块木块时的位移是6L=6m，速度是：$（1+2+3…+6）×2\frac{μmg}{M}L={{v}_{0}}^{2}-{{v}_{6}}^{2}$
代入数据解得：v₆=2m/s
${a}_{7}=\frac{7μmg}{M}=3.5m/{s}^{2}$
木板最后阶段的位移：${x}_{7}=\frac{{{v}_{6}}^{2}}{2{a}_{7}}=\frac{{2}^{2}}{2×3.5}=0.57m$
木板的总位移：x=6L+x₇=6+0.57=6.57m
答：（1）第1块铁块放上后，木板运动了1时，木板的速度为2$\sqrt{6}$m/s．
（2）最终木板上放有7块铁块．
（3）最后一块铁块与木板右端距离是6.57 m

点评 熟练应用平衡条件、摩擦力公式、牛顿第二定律和运动学公式即可正确解题，关键运用归纳法，得到速度的通项．