Question

（2008?南通二模）如图所示的直角坐标系中，在直线X=-2L₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向，在电场左边界上A（-2L₀，-L₀，）到C（-2L₀，0）区域内，连续分布着电量为+q，质量为m的粒子，从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度V₀沿x轴正方向射入电场，若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A'（0，L₀）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图，不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
（3）若以直线x=2L₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2L₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

Answer 1

分析：（1）将带电粒子的运用沿水平和竖直方向正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向在x轴上下方都做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析；
（2）先画出运动的一般轨迹，要使粒子通过电场后能沿x轴正方向运动，其第一次到达x轴的水平分位移的2n倍等于2l₀，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析即可；
（3）先画出各个粒子的运动轨迹，然后根据题意确定磁场范围，最后根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度．

解答：解：（1）设从A点射入的粒子由A点到A'点的运动时间为t，根据运动轨迹的对成称性可得：
x方向有：2L₀=v₀t得t=

2L0

v0

①
y方向有：L₀=

qE

2m

（

t

2

）²        ②
解得     E=

2m v 2 0

qL0

③
即从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t为

2L0

v0

，匀强电场的电场强度E的大小为 

2m v 2 0

qL0

．
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次到达x轴用时△t，水平分位移△x，
则△x=v₀△t     ④
△y=

qE

2m

（△t）²   ⑤
要粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须满足条件2l₀=n?2△x（n=1，2，3…）      ⑥
联立③④⑤⑥解得：△y=

1

n2

L0 ⑦
故粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：y=（-1）ⁿ

L0

n2

，（n=1，2，3…）⑧
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为y₁=l₀⑨
当n=2时，粒子射出的坐标为y2=-

L0

4

⑩
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间（如图所示）．
y₁、y₂之间距离为  L=y₁-y₂=

5L0

4

（11）
所以，磁场圆O₁的最小半径R=

L

2

=

5L0

8

（12）
若使粒子经磁场后汇集于直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点，分析知此点只能是答图中的Q点，且粒子在磁场中做圆周运动的半径等于磁场区域圆半径．    
由  qv0B=m

v 2 0

R

（13）
联立（12）（13）得：B=

8mv0

5qL0

（14）
即磁场区域的最小半径是

5L0

8

，相应的磁感应强度B是

8mv0

5qL0

．
答：（1）求匀强电场的电场强度为 

2m v 2 0

qL0

；
（2）y=（-1）ⁿ

L0

n2

，（n=1，2，3…）位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动；
（3）磁场区域的最小半径是

5L0

8

，相应的磁感应强度B是

8mv0

5qL0

．

点评：本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．