Question

【题目】如图，半径R=0.8m的光滑圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s2 ． 求：

（1）小物块刚到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：小物块从A到C，机械能守恒，设在C点的速度为vC

因为

所以

故小物块刚到达C点时的速度大小为

（2）解：对小物块，在C点受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力．由牛顿第二定律得：

则

=

=50N

由牛顿第三定律得：小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．

故小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．

（3）解：对小物块，在C点受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力．由牛顿第二定律得：

则

=

=50N

由牛顿第三定律得：小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．

故小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．

设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v

对系统，由动量守恒定律得：

mvc=（M+m）v

则

=

=

对小物块，与长木板发生相对滑动的过程中，由动能定理得：

带人数据解得：小物块在该过程中相对于地面所发生的位移 xm=5m

对长木板，与小物块发生相对滑动的过程中，由动能定理得：

带人数据解得：长木板在该过程中相对于地面所发生的位移xM=1m

长木板的长度至少为L=xm﹣xM

=5m﹣1m

=4m

答：要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4 m．

【解析】（1）物体下滑到c的过程中，机械能守恒，利用机械能守恒定律列式求解。
（2）物体滑到c点时所受的合外力，提供向心力，结合向心力公式，以及受力分析，求解即可。
（3）物化而不滑出长木板代表物块滑到长木板右端时，应与长木板速度相同，分析整个过程，利用动量守恒和动能定理列方程求解。