Question

事实上，地球围绕太阳运动的轨道是椭圆，并且太阳处在椭圆的一个焦点上．如图，已知太阳质量为M，半径为R，地球在近日点离太阳表面的距离为h₁，速度为v₁，在远日点地球离太阳表面的距离为h₂，万有引力常量为G．
求：（1）地球在远日点的速度为多少？
（2）地球在近日点、远日点的加速度各为多少？

Answer 1

分析：1、根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，取极短时间△t，根据“面积”相等列方程得出远日点时与近日点时的速度比值求解．
2、根据万有引力定律和牛顿第二定律求解加速度．

解答：解：（1）取极短时间△t，
根据开普勒第二定律得行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，

1

2

（R+h₁）?v₁?△t=

1

2

（R+h₂）?v₂?△t
得到：v₂=

R+h1

R+h2

v₁
（2）根据万有引力定律和牛顿第二定律得
地球在近日点：

GMm

(R+h1)2

=ma₁
地球在远日点：

GMm

(R+h2)2

=ma₂
解得：a₁=

GM

(R+h1)2

     a₂=

GM

(R+h2)2

答：（1）地球在远日点的速度是

R+h1

R+h2

v₁
（2）地球在近日点加速度为

GM

(R+h1)2

，远日点的加速度是

GM

(R+h2)2

．

点评：本题考查对开普勒第二定律的理解和应用能力．在极短时间内，行星与太阳连线扫过的范围近似为三角形．