Question

如图所示，一个质量为2kg 的“”形导轨ABCD，放在光滑绝缘的水平桌面上，处于如图所示匀强磁场中，另有一根与AD等长的质量为m=0.60kg的金属棒MN垂直跨放在导轨上，MN与导轨的动摩擦因数为0.20，左边靠着光滑的固定在桌面的立柱a、b，匀强磁场以ab连线为界，左侧的磁场方向竖直向上，右侧磁场方向水平向右，磁感应强度的大小都是0.80T．已知导轨AD段长为0.50m，电阻是0.40Ω，金属棒MN的电阻是0.20Ω，其余电阻不计．导轨在水平拉力F作用下由静止开始以0.20m/s²的加速度做匀加速直线运动，一直到MN中的电流达到4.0A时，导轨改做匀速直线运动．设导轨足够长，取g=10m/s²．求：
（1）导轨做匀速运动时，水平拉力F的大小
（2）在导轨ABCD做匀加速运动的过程中，水平拉力F 的最小值
（3）MN上消耗的电功率为P=0.80W时，水平拉力F的功率．

Answer 1

分析：（1）导轨做匀速运动时，MN保持静止状态，受力都平衡．分别分析两物体的受力情况，根据平衡条件列式求解水平拉力F的大小，其中MN与导轨所受的安培力大小相等，均为F_安=BIL．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出导轨所受的安培力与速度的表达式，由f=μN得到摩擦力的表达式，根据牛顿第二定律得到水平拉力F与速度的关系式，再分析并求解最小的拉力．
（3）由P=I²R求出此时电路中的电流，由欧姆定律和E=BLv求出导轨的速度，由P=Fv求解水平拉力的功率．

解答：解：（1）导轨匀速运动时，设电流为I，MN及AD的长度均为L=0.5m，此时MN棒受力如左图
有：F_N+F_安1=mg
   F_f=μF_N
  F_安1=BIL
解得：F_f=0.88N
对导轨受力分析如右图
有：F=F_安2+F′_f
又：F_f=F′_f
F_安2=BIL=1.6N
解得：F=2.48N
（2）当导轨以加速度a做匀加速运动时，速度为，对应的感应电动势为E，感应电流为，设MN的电阻为，AD的电阻为，质量为，有：
E=BLv
I′=

E

R+r

F′_安1=BI′L
F′_安2=BI′L（2分）
而摩擦力也变为：F″_f=μF″_N，
又：F″_N+F′_安1=mg（1分）
由牛顿第二定律：F-F″_f-F′_安2=Ma
联立上面各式得：F-

B2L2v

R+r

-μ(mg-

B2L2v

R+r

)=Ma①
解得：F=Ma+μmg+(1-μ)

B2L2v

R+r

当速度v=0时，水平力F有最小值F_min=1.6N．
（3）MN上消耗电功率P=0.8W时，设电路中的电流为I″，导轨的速度为v′，拉力为F′，拉力的功率为P′
由：P=I″²R
及：I″=

BLv′

R+r

解得导轨的运动速度 v′=3m/s．      
结合①式可得：F′=2.24N．        
力F'做功的功率：P′=F′v′=6.72W
答：
（1）导轨做匀速运动时水平拉力F的大小为2.48N．
（2）在导轨ABCD做匀加速运动的过程中，水平拉力F的最小值为1.6N．
（3）MN上消耗的电功率为P=0.80W时，水平拉力F的功率是6.72N．

点评：本题涉及导体MN和导轨两个物体，分析受力情况是关键，其中最关键的是推导安培力的表达式，同时要抓住两个物体之间的相关条件：安培力和摩擦力大小相等．