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(20分)如图所示,接地的空心导体球壳内半径为R,在空腔内一直径上的P1P2处,放置电量分别为q1q2的点电荷,q1q2q,两点电荷到球心的距离均为a.由静电感应与静电屏蔽可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的电场是由q1q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的,所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明,感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题中假想(等效)点电荷应为两个),只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:设想将整个导体壳去掉,由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0;由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是唯一的.等效电荷取代感应电荷后,可用等效电荷q1q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强。

1.试根据上述条件,确定假想等效电荷的位置及电量.

2.求空腔内部任意点A的电势UA.已知A点到球心O的距离为r的夹角为q

解析

1.解法Ⅰ

如图1所示,S为原空腔内表面所在位置,的位置应位于的延长线上的某点B1处,的位置应位于的延长线上的某点B2处.设A1S面上的任意一点,根据题意有

                  (1)

     (2)

怎样才能使 (1) 式成立呢?下面分析图1中的关系.

若等效电荷的位置B1使下式成立,即

                  (3)

即                 (4)

则         

有                (5)

由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷   

        (6)

由 (3) 式知,等效电荷的位置B1到原球壳中心位置O的距离

     (7)

同理,B2的位置应使,用类似的方法可求得等效电荷

         (8)

等效电荷的位置B2到原球壳中心O位置的距离

     (9)

解法Ⅱ

在图1中,设.根据题意,两者在A1点产生的电势和为零.有

                             (1')

式中

                         (2')

                         (3')

由(1')、(2')、(3')式得

                 (4')

(4')式是以为变量的一次多项式,要使(4')式对任意均成立,等号两边的相应系数应相等,即

                        (5')

                                   (6')

由(5')、(6')式得

                         (7')

解得          (8')

由于等效电荷位于空腔外部,由(8')式求得

        (9')

由(6')、(9')式有

          (10')

考虑到(1')式,有

                                  (11')

同理可求得

                                (12')

    (13')   

2.A点的位置如图2所示.A的电势由q1q2共同产生,即

        (10)

                                  

            

   

代入 (10) 式得

  

         (11)

评分标准

本题20分.第1问18分,解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分.解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ.第2问2分,即(11)式2分.

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(2)球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小;

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