Question

19．如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　）

• A． 当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5 mg
• B． 当v=$\sqrt{5gR}$时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
• C． 速度v至少为$\sqrt{5gR}$，才能使两球在管内做圆周运动
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力都大6 mg

Answer 1

分析 要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可，而当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力，由向心力公式可得小球在最高点时的速度，再由机械能守恒得小球在最低点的速度，以及最低点时所需要的向心力，即可求得最低点和最高点处的压力之差．

解答 解：依题意知，当小球a在最低点时，小球b在最高点，小球b在最高点对轨道无压力时，重力提供向心力即F_b=mg，由向心力公式$mg=\frac{{{mv}_{b}}^{2}}{R}$，解之得，${v}_{b}=\sqrt{gR}$，当小球a在最低点时，小球b在最高点，根据机械能守恒可知，$mg•2R+\frac{1}{2}{{mv}_{b}}^{2}=\frac{1}{2}{{mv}_{a}}^{2}$，解之得${v}_{a}=\sqrt{5gR}$．
A、根据以上计算知，当小球b在最高点对轨道无压力时，重力提供向心力，则F_b=mg，a球在最低点有${F}_{b}=\frac{{{mv}_{a}}^{2}}{R}=5mg$，所以小球a比小球b所需向心力大△F=F_a-F_b=4mg，故A错误；
B、根据以上计算当v=$\sqrt{5gR}$时，小球b在轨道最高点恰好重力提供向心力，小球b对轨道无压力，故B正确；
C、只要小球在最高点时的速度大于零，小球即可通过最高点，根据机械能守恒知，$mg•2R=\frac{1}{2}{mv}^{2}$，解之得，$v=2\sqrt{gR}$，所以速度v至少为$2\sqrt{gR}$，才能使两球在管内做圆周运动，故C错误；
D、当v≥$\sqrt{5gR}$时，管道的外壁对小球有弹力，在最高点${F}_{1}=\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}-mg$，在最低点${F}_{2}=\frac{{{mv}_{2}}^{2}}{R}-mg$，由机械能守恒知$mg•2R+\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}=\frac{{{mv}_{2}}^{2}}{R}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大：△F=F₂-F₁，以上各式联立解得，△F=6mg，即只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力都大6 mg．故D正确．
故选：BD．

点评 小球在竖直面内的圆周运动，若是用绳拴着只有重力小于等于向心力时，小球才能通过；而用杆或在管内运动的小球，只要在最高点时的速度大于零，小球即可通过最高点．