Question

如图甲所示，一个绝缘倾斜直轨道固定在竖直面内，轨道的AB部分粗糙，BF部分光滑．整个空间存在着竖直方向的周期性变化的匀强电场，电场强度随时间的变化规律如图乙所示，t=0时电场方向竖直向下．在虚线的右侧存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=

2πm

q

．现有一个质量为m，电量为q的带正电的物体（可以视为质点），在t=0时从A点静止释放，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，t=2s时刻，物体滑动到B点．在B点以后的运动过程中，物体没有离开磁场区域，物体在轨道上BC段的运动时间为1s，在轨道上CD段的运动时间也为1s．（物体所受到的洛伦兹力小于2mgcosθ）
（1）由于轨道倾角未知，一位同学拿到了量角器，将其测出，记为θ．在AB阶段，由此可以计算出物块滑动到B时的速度，请你帮他完成此次计算，并定性说明物体在AB阶段做何种运动？
（2）另一位同学并未使用量角器，而是用直尺测出了BC以及CD的长度，记为S₁，S₂，同样可以得到轨道倾角θ，请你帮他完成此次计算．（计算出θ的三角函数值即可）
（3）观察物体在D点以后的运动过程中，发现它并未沿着斜面运动，而且物块刚好水平打在H点处的挡板（高度可以忽略）上停下，斜面倾角θ已知，求F点与H点的间距L，并在图乙中画出物体全程的运动轨迹．

Answer 1

分析：（1）在0～1s内，电场力方向竖直向下，根据牛顿第二定律求出加速度，从而根据运动学公式求出末速度，在1～2s内，电场力方向竖直向上，大小等于重力，物体做匀速直线运动．
（2）根据牛顿第二定律求出物体在光滑斜面上运动的加速度，根据相等时间内的位移之差是一恒量，求出倾角θ的表达式．
（3）物体在D点重力和电场力平衡，做匀速圆周运动，圆弧的轨迹恰好相切于H点，根据几何关系，结合带电粒子在匀强磁场中的半径公式求出F点与H点的间距L．

解答：解：（1）由题意可知：qE=mg… ①
t=0到t=1s过程中，对物体受力分析，由牛顿第二定律得：
2mgsinθ-μ?2mgcosθ=ma…②
则v_B=at=2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下…③
t=1s到t=2s过程中，受力分析知物体所受合力为零，做匀速直线运动．
所以在t=0到t=2s过程中，物体先做匀加速直线运动再做匀速直线运动．
（2）因为斜面光滑，物体受重力、支持力和洛伦兹力，根据牛顿第二定律知：a=

(mg+qE)sinθ

m

=2gsinθ
物体在BC及CD阶段做匀加速直线运动．
s2-s1=at2
即s₂-s₁=2gsinθ 得：sinθ=

s2-s1

2g

在C点物体会脱离斜面做匀速圆周运动．
（3）运动轨迹如图．由几何关系可知，

L

r

=tan

θ

2

   ⑦
qvDB=m

vD2

r

⑧
r=

mvD

qB

⑨
v_D=v_B+a?2t⑩
由②③⑦⑨⑩可得 L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．
答：（1）物块滑动到B时的速度为2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下．物体先做匀加速直线运动再做匀速直线运动．
（2）sinθ=

s2-s1

2g

．
（3）F点与H点的间距L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．

点评：解决本题的关键搞清物体在整个过程中的运动情况，根据物体的受力，判断物体的运动，物体经历了匀加速直线运动、匀速直线运动，以及匀加速直线运动和匀速圆周运动，过程较复杂，且与数学几何结合的比较紧密，对数学能力的要求较高．