Question

9．一电阻为R=2Ω的金属圆环，放在匀强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如图（a）所示．已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图（b）所示，图中的最大磁通量Ф₀=4wb和变化周期T=1s，求：
（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的时间内，通过金属圆环的电流大小及方向；
（2）在如图（c）中作出t=0到t=T的时间内金属圆环中电流与时间的关系图线；（取逆时针为正方向）
（3）求在t=0到t=T的时间内，金属环所产生的电热Q．

Answer 1

分析 线圈平面垂直处于匀强磁场中，当磁感应强度随着时间均匀变化时，线圈中的磁通量发生变化，从而导致出现感应电动势，产生感应电流．由楞次定律可确定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律可求出感应电动势大小．而产生的热量则是由焦耳定律求出．

解答 解：（1）在t=0到$t=\frac{T}{4}$的时间内，由法拉第电磁感应定律公式$E=N\frac{△Φ}{△t}$，得
$E=\frac{{Φ}_{0}^{\;}-0}{\frac{T}{4}}=\frac{4{Φ}_{0}^{\;}}{T}=\frac{4×4}{1}=16V$
金属圆环的电流大小$I=\frac{E}{R}=\frac{16}{2}A=8A$
由楞次定律可知感应电流方向为逆时针；
（2）在t=0到t=T的时间内，从$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3}{4}T$到T，由于磁通量不变，无感应电流；
从$\frac{T}{2}$到$\frac{3T}{4}$磁感应强度的变化率绝对值与0到$\frac{T}{4}$时间内磁感应强度的变化率相等，故电流等大、反向，I′=-8A
作出t=0到t=T的时间内金属圆环中电流与时间的关系图线，如图所示

（3）在t=0到t=T的时间内，从$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3}{4}T$到T，由于磁通量不变，所以金属环不发热，
而从0到$\frac{T}{4}$金属环产生的热量与从$\frac{T}{2}$到$\frac{3}{4}T$金属环产生的热量是相等的
则有${Q}_{1}^{\;}={I}_{\;}^{2}R\frac{T}{4}={8}_{\;}^{2}×2×\frac{1}{4}=32J$
所以$Q=2{Q}_{1}^{\;}=64J$
答：（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的时间内，通过金属圆环的电流大小为8A，方向为逆时针方向；
（2）t=0到t=T的时间内金属圆环中电流与时间的关系图线如上图所示
（3）在t=0到t=T的时间内，金属环所产生的电热Q为64J．

点评 本题考查楞次定律来判定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律来求出感应电动势大小．当然本题还可求出电路的电流大小，及电阻消耗的功率．同时磁通量变化的线圈相当于电源．注意在磁通量不变时，金属环没有电流，则无热量．