Question

如图所示，两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的xOy平面内，导轨与x轴平行，左端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在竖直向下的磁场，金属棒质量为m，电阻为r，与金属导轨垂直放置，且接触良好．开始时，金属棒位于x=0处，现给金属棒一大小为v₀、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计．问：
（1）金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功和电阻R上产生的焦耳热；
（2）若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x₁；
（3）若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足B²=kx，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x₂．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出金属棒滑行过程中安培力对金属棒做功的大小，抓住克服安培力做功等于整个回路产生的热量求出电阻R上产生的焦耳热．
（2）根据切割产生的感应电动势，结合闭合电路欧姆定律以及安培力的大小公式求出安培力的大小，根据牛顿第二定律求出加速度，结合微分的思想求出导体棒最终在导轨上静止时滑行的距离．
（3）将B²=kx代入微分表达式，采用微分的思想求出导体棒最终在导轨上静止时的坐标x₂．

解答：解：（1）根据动能定理得，安培力做功w=-

1

2

m

v

2 0

克服安培力做功等于整个回路产生的热量，则Q=

1

2

m

v

2 0

 所以电阻R上产生的热量QR=

R

r+R

Q=

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）切割产生的感应电动势E=Bdv
安培力F=IdB=

B2d2v

R+r

根据牛顿第二定律得，a=

F

m

△v=a△t
∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

B2d2

(R+r)m

△x
解得x1=

mv0(R+r)

B2d2

（3）将B²=kx代入得，∑△v=∑

B2d2v

(R+r)m

△t=∑

d2

(R+r)m

kx△x
v0=

d2

(R+r)m

∑kx△x=

d2

(R+r)m

×

1

2

k

x

2 2

解得x2=

2mv0(R+r) kd2

．
答：（1）金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功为-

1

2

mv02，电阻R上产生的热量为

Rm v 2 0

2(R+r)

．
（2）导体棒最终在导轨上静止时的坐标x1=

mv0(R+r)

B2d2

．
（3）导体棒最终在导轨上静止时的坐标x2=

2mv0(R+r) kd2

．

点评：本题综合考查了切割产生的感应电动势、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律等知识，综合性强，对数学能力的要求较高，是一道难题．