Question

19．如图所示，从地面上A点以速度v发射一枚远程弹道导弹，仅在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行后击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h．已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G．且距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T₀．下列结论正确的（　　）

• A． 导弹在C点的加速度等于$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
• B． 导弹在C点的速度大于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
• C． 导弹到达B点时的速率为v
• D． 导弹从A点运动到B点的时间可能大于T₀

Answer 1

分析 距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度，根据牛顿第二定律得到其运动速度为$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．C为轨道的远地点，导弹在C点的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．由牛顿第二定律求解导弹在C点的加速度．由开普勒第三定律分析导弹的运动时间与T₀的关系．

解答 解：A、由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=ma$，得导弹在C点的加速度为a=$G\frac{M}{{（R+h）}^{2}}$．故A正确．
B、设距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度为v，则由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，得到：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．导弹在C点只有减速才能进入卫星的轨道，所以导弹在C点的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．故B错误．
C、根据机械能守恒可知，B点速度与发射速度相等，即为v．故C正确．
D、设导弹运动的周期为T，由于导弹的半长轴小于卫星的轨道半径R+h，根据开普勒第三定律知道：导弹运动的周期T＜T₀，则导弹从A点运动到B点的时间一定小于T₀．故D错误．
故选：AC

点评 本题运用牛顿第二定律、开普勒定律分析导弹与卫星运动问题．比较C在点的速度大小，可以结合卫星变轨知识来理解．