Question

3．起重机的钢丝在10s内将4t重的货物向上吊起15米高
（1）如果货物时匀速上升，求起重机对货物做功的功率；
（2）如果货物是从静止开始匀加速上升，求起重机对货物做功的平均功率是多少以及该起重机的额定功率最小是多少？

Answer 1

分析 （1）货物匀速上升时，牵引力等于重力，结合牵引力做功，根据平均功率的公式求出起重机对货物做功的功率．
（2）根据位移时间公式求出货物的加速度，结合牛顿第二定律求出牵引力的大小，根据牵引力做功的大小，结合平均功率的公式求出起重机对货物做功的平均功率．根据速度时间公式求出匀加速直线运动的末速度，再根据P=Fv求出起重机的最小额定功率．

解答 解：（1）货物匀速上升时，F=mg=40000N，
起重机对货物做功的大小W=Fh=40000×15J=600000J，
则起重机对货物做功的功率P=$\frac{W}{t}=\frac{600000}{10}W=60000W$．
（2）若货物做匀加速上升，根据h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，a=$\frac{2h}{{t}^{2}}=\frac{2×15}{100}m/{s}^{2}=0.3m/{s}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，F′-mg=ma，解得牵引力F′=mg+ma=40000+4000×0.3N=41200N，
则起重机对货物做功的平均功率$P′=\frac{W}{t}=\frac{F′h}{t}=\frac{41200×15}{10}W$=61800W．
匀加速直线运动的末速度v=at=0.3×10m/s=3m/s，
可知起重机的额定功率最小值P=F′v=41200×3W=123600W．
答：（1）起重机对货物做功的功率为60000W；
（2）起重机对货物做功的平均功率为61800W，起重机的额定功率最小值为123600W．

点评 本题考查了牛顿第二定律、运动学公式和功率的综合运用，知道匀速运动时，牵引力等于重力，通过位移时间公式求出加速度是关键．