Question

如图7-21所示，光滑水平面上有一质量M=4.0 kg的平板车，车的上表面右侧是一段长L=1.0 m的水平轨道，水平轨道左侧连一半径R=0.25 m的1/4光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在O′点相切.车右端固定一个尺寸可以忽略、处于锁定状态的压缩弹簧，一质量m=1.0 kg的小物块紧靠弹簧，小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，整个装置处于静止状态.现将弹簧解除锁定，小物块被弹出，恰能到达圆弧轨道的最高点A，g取10 m/s².求：

图7-21

（1）解除锁定前弹簧的弹性势能；

（2）小物块第二次经过O′点时的速度大小；

（3）最终小物块与车相对静止时距O′点的距离.

Answer 1

思路解析：本题主要考查动量和能量的综合计算.在整个过程中,水平方向动量守恒,小物块到达A点时,与水平轨道的速度相等,根据动量守恒可以判断共同速度为零.根据系统能量守恒可以计算弹簧的弹性势能.小物块返回时,根据动量守恒和机械能守恒可以求出到达O′点时的速度大小;最终小物块与车相对静止,机械能全部转化为内能,而内能等于摩擦力所做的功,即可求出相对路程和位置.

解：（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，故小物块恰能到达圆弧最高点A时，二者的共同速度v_共=0                                                          ①

    设弹簧解除锁定前的弹性势能为E_p，上述过程中系统能量守恒，则有

    E_p=mgR+μmgL                                                           ②

    代入数据解得E_p=7.5 J.                                                     ③

（2）设小物块第二次经过O′时的速度大小为v_m，此时平板车的速度大小为v_m，研究小物块在圆弧面上下滑过程，由系统水平方向动量守恒和系统机械能守恒有

    0=mv_m-Mv_m                                                               ④

    mgR=mv_m²+Mv_m²                                                      ⑤

    由④⑤式代入数据解得?v_m=2.0 m/s.                                         ⑥

（3）最终平板车和小物块相对静止时，二者的共同速度为0.设小物块相对平板车滑动的总路程为s，对系统由能量守恒有

    E_p=μmgs                                                                ⑦

    代入数据解得s=1.5 m                                                      ⑧

    则距O′点的距离x=s-L=0.5 m.                                             ⑨

答案：（1）7.5 J  （2）2.0 m/s  （3）0.5 m