Question

据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内（托卡马克装置）．如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R₁=0.5m，外半径R₂=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的比荷为

q

m

=4×107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试计算
（1）实践证明，粒子在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动的速度v与它在磁场中运动的轨道半径r有关．试导出v与r的关系式．
（2）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度．
（3）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律推导v与r的关系．
（2）粒子若沿径向飞出，临界情况为粒子恰好与外环相切，根据几何关系求出运动的轨道半径，再根据带电粒子在磁场中轨道半径公式求出最大的速度．
（3）粒子沿环状域的内边界圆的切线方向射入磁场时，此时的轨道半径为最小的轨道半径，此时粒子若不能出磁场，则所以粒子都不会出磁场，根据几何关系求出轨道半径，再通过轨道半径公式求出最大的速度．

解答：解：（1）设粒子的质量为m，电量为q，以速度v在磁感应强度为B的匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动；
由牛顿第二定律可知，Bqv=m

v2

r

所以有：v=

Bqr

m

；
故粒子在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动的速度v与它在磁场中运动的轨道半径r有关．
（2）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场区域的最大速度粒子沿圆弧从B到A，恰与环状域外圆相切，0′为轨道圆心．设AO′=BO′=r，
由几何关系得（R₂-r）²=r²+R₁²，
又r=

mv

qB

，
可得v=

q

m

?

B( R 2 2 - R 2 1 )

2R2

代入解得v=1.5×10⁷m/s
（3）粒子沿环状域的内边界圆的切线方向射入磁场时，轨道半径最大为r_m=

R2-R1

2

，由r_m=

mv

qB

，得
v_m=

qB(R2-R1)

2m

．
代入数据得v_m=1.0×10⁷m/s
答：（1）
（2）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为1.5×10⁷m/s．
（3）所有粒子不能穿越磁场的最大速度为1.0×10⁷m/s．

点评：本题对数学几何的能力要求较高，关键找出临界的半径，再通过带电粒子在磁场中的半径公式求出临界的速度．