Question

直立轻弹簧的下端与水平地面上质量为M=0.20kg的甲木块与连接，轻弹簧上端静止于A点（如图甲），再将质量也为M=0.20kg乙木块与弹簧的上端连接，当甲、乙及弹簧均处于静止状态时，弹簧上端位于B点（如图乙）．现向下压乙，当弹簧上端下降到C点时将弹簧锁定，这时C、A两点间的距离为△l=6.0cm．一个质量为m=0.10kg的小球丙从距离乙正上方h=0.45m处自由落下（如图丙），当丙与乙刚接触时，弹簧立即被解除锁定，丙与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短，丙、乙间的作用力远大于重力和弹簧弹力），碰撞后立即取走小球丙．当甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0m/s．求：
（1）碰撞刚结束的瞬间，丙球、乙木块的速度v₁、v₂的大小和方向；
（2）放上乙物体后，平衡时弹簧上端B点（图2中）到A点的距离x₁；
（3）从弹簧被解除锁定至甲第一次刚离开地面时，弹簧弹性势能的改变量△E_P．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）根据丙做自由落体运动求出碰撞前丙的速度，以乙和丙组成的系统为研究对象，系统动量守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列方程求解．
（2）对乙研究，碰后，乙立即以2m/s的速度从C点向下运动，从此时起直到甲第一次刚离开地面前，乙在自身重力和弹簧弹力的共同作用下以B点为平衡位置做简谐运动．由于甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0m/s，v和v₂等大反向．根据简谐振动的对称性和胡克定律列方程求解．
（3）根据功能关系，系统重力势能的增加量△E_重等于弹性势能的减少量△E_弹列方程求解．

解答：解：（1）规定竖直向下为正方向，设丙自由下落h时速度为v₀，根据自由落体运动规律有：
 v0=

2gh

=3.0m/s
解除锁定后，乙与丙发生弹性碰撞，设碰后乙、丙的速度分别为v₂、v₁，
由动量守恒mv₀=Mv₂+mv₁
根据机械能守恒  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

M

v

2 2

+

1

2

m

v

2 1

解得v₂=2.0m/s，v₁=-1.0m/s 
所以v₁=1m/s，竖直向上；v₂=2m/s，竖直向下．
（2）碰后，乙立即以2m/s的速度从C点向下运动，从此时起直到甲第一次刚离开地面前，乙在自身重力和弹簧弹力的共同作用下以B点为平衡位置做简谐运动．
当乙第一次回到平衡位置B时，弹簧相对原长的压缩量（图乙）
x1=

Mg

k

当甲第一次刚离开地面时，弹簧相对原长的伸长量（图丙）
x2=

Mg

k

由于甲第一次刚离开地面时乙的速度为v=2.0m/s，v和v₂等大反向，
所以根据简谐振动的对称性可知
x₁+x₂=△l-x₁
故x₁=x₂=2.0cm．
（3）从碰撞结束至甲第一次刚离开地面时，对于乙和弹簧组成的系统，动能变化量为
  △EK=

1

2

Mv2-

1

2

M

v

2 乙

=0
根据功能关系，系统重力势能的增加量△E_重等于弹性势能的减少量△E_弹
即：△E_弹=△E_重
而重力势能的增加量为：
△E_重=Mg（x₂+△l）
所以弹簧弹性势能的减少量为：△E_弹=Mg（x₂+△l）=0.16J
答：（1）碰撞刚结束的瞬间，丙球的速度为1m/s，方向竖直向上，乙木块的速度为2m/s，方向竖直向下．
（2）放上乙物体后，平衡时弹簧上端B点（图2中）到A点的距离x₁为2.0cm．
（3）从弹簧被解除锁定至甲第一次刚离开地面时，弹簧弹性势能的改变量△E_P为0.16J．

点评：此题要用动量守恒定律和机械能守恒定律联合列方程求解，既要分析动量是否守恒，又要分析机械能是否守恒，同时还要熟练掌握简谐运动的知识．此题对能力要求较高，属于难题．