Question

2．如图所示，质量为M的曲面轨道放在光滑地面上，这是一个$\frac{1}{4}$圆弧，轨道最高点A与圆心等高，轨道最低点B与水平地面相切．质量为m的小球以足够大的初速度v₀冲向曲面轨道，不计一切摩擦和空气阻力．求：
（1）小球离开A点后相对地面能上升的最大高度；
（2）小球还能否由A点落回轨道？请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）曲面轨道与小球组成的系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出小球上升的高度．
（2）系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律结合各自运动的特点分析即可．

解答 解：（1）小球滚上曲面轨道的过程中，系统水平方向上动量守恒．小球沿轨道上升的过程中，球的水平分速度从v₀开始逐渐减小，而曲面轨道的同向速度却从零开始逐渐增大．若v_球＞v_轨道，则球处于上升阶段；若v_球＜v_轨道，则球处于下滑阶段（v_球为球的水平分速度），因此，小球在最大高度时二者速度相等．设二者速度均为v，以向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v…①?
又因为整个过程中只有重力势能和动能之间的相互转化，所以系统的机械能守恒．根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+mgh…②
解①②式解得，球上升的最大高度：h=$\frac{{M{v_0}^2}}{2（M+m）g}$；
（2）小球与曲面轨道分离时刻二者在水平方向的速度大小相等，在分离后，曲面轨道水平方向的速度保持不变，而小球在水平方向做匀速直线运动，所以二者在相等的时间内水平方向的位移是相等的，所以小球在下落的过程中仍然恰好由A点进入曲面轨道．
答：（1）小球离开A点后相对地面能上升的最大高度是$\frac{{M{v_0}^2}}{2（M+m）g}$；
（2）小球还能由A点落回轨道，理由是二者水平方向都做匀速直线运动，且水平方向的速度相等．

点评 本题考查了求小球上升的高度、小车与小球的速度，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．