Question

9．如图所示，长木板B的质量为m₂=1.0kg，静止放在粗糙的水平地面上，质量为m₃=1.0kg的物块C（可视为质点）放在长木板的最右端，一个质量为m₁=0.5kg的物块A从距离长木板B左侧l=9.5m处，以速度v₀=10m/s向着长木板运动，一段时间后物块A与长木板B发生弹性正碰（时间极短），之后三者发生相对运动，整个过程物块C始终在长木板上，已知物块A及长木板与地面间的动摩擦因数均为μ₁=0.1，物块C与长木板间的动摩擦因数μ₂=0.2，物块C与长木板间的最大静摩擦压力等于滑动摩擦力，g取10m/s²，求：
（1）碰后瞬间物块A和长木板B的速度；
（2）长木板B的最小长度和物块A离长木板左侧的最终距离．

Answer 1

分析 （1）先研究A与B碰撞前的过程，运用动能定理求出碰撞前A的速度．物块A与长木板B发生弹性正碰，根据系统的动量守恒和机械能守恒分别列式，可求得碰后瞬间物块A和长木板B的速度；
（2）碰撞之后，长木板B向右做匀减速运动，C向右做匀加速运动，根据牛顿第二定律求得各自的加速度大小，再由速度公式求出两者达到同速所用时间．达到同速后两者一起匀减速运动，根据位移公式和几何关系求B的最小长度和物块A离长木板左侧的最终距离．

解答 解：（1）设物块A与木板B碰撞前的速度为v．由动能定理得：
-μ₁m₁gl=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
可得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgl}$
代入数据解得：v=9m/s
物块A与长木板B发生弹性正碰，设碰撞后瞬间两者的速度分别为v₁和v₂．取向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v=m₁v₁+m₂v₂．
由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m₁v²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
联立解得：v₁=-3m/s，v₂=6m/s
（2）AB碰撞后B减速运动，C加速运动，B、C达到共同速度之前，由牛顿第二定律，
对木板B有：-μ₁（m₂+m₃）g-μ₂m₃g=m₂a₁．
对物块C有：μ₂m₃g=m₃a₂．
设从碰撞后到两者达到共同速度经历的时间为t，则有：v₂-a₁t=a₂t
木板B的最小长度为：d=（v₂t+$\frac{1}{2}$a₁t²）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
联立解得：d=3m
B、C达到共同速度之后，因μ₁＜μ₂，二者一起减速至停下，对BC整体，由牛顿第二定律得：
-μ₁（m₂+m₃）g=（m₃+m₂）a₃．
整个过程中B运动的位移为：
x_B=v₂t+$\frac{1}{2}$a₁t²+$\frac{0-（{a}_{2}t）^{2}}{2{a}_{3}}$
解得：x_B=6m
A与B碰撞后，A向左做匀减速运动的加速度也为a₃．位移为：x_A=$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{3}}$
解得：x_A=4.5m
所以物块A离长木板左侧的最终距离为：S=x_A+x_B=10.5m
答：（1）碰后瞬间物块A和长木板B的速度分别为3m/s，向左，以及6m/s，向右．
（2）长木板B的最小长度是3m，物块A离长木板左侧的最终距离是10.5m．

点评 本题是多研究对象、多过程问题，过程复杂，分析清楚物体的运动过程，应用牛顿第二定律、运动学公式、动量守恒定律、机械能守恒定律即可正确解题．