Question

【题目】如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3 m的圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2 m．下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．有一质量为0.3 kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，求：

(1)如果小球从D点以5 m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离；

(2)如果小球从D点以5 m/s的速度水平飞出，求小球过圆弧A点时对轨道的压力；

(3)如果在D点右侧平滑连接一半径R＝0.4 m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围(计算结果可以用根式表示)．

Answer 1

【答案】(1)2 m　(2)44 N　(3) 或

【解析】试题分析：（1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得：h=gt2

据题 h=2R+L=2×0．3m+0．2m=0．8m

代入数据解得 t=0．4s

所以落地点与D点的水平距离 x=vDt=5×0．4m=2m；

（2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得：mgh+mvD2=mvA2

在A点，由牛顿第二定律可得： ；

联立解得 N=94N

由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 N′=N=94N

（3）计论一：

小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：

mg（R+L）=mv12

得 v1=m/s

讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有

从A到D由机械能守恒定律可得：

有：mgh+mv2=mv22

得

所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v1≤m/s或v2≥m/s